Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, плотно в , если всякая окрестность любой точки из содержит элемент из .
Определения
Пусть даны топологическое пространство и два подмножества Тогда множество называется плотным во множестве , если любая окрестность любой точки содержит хотя бы одну точку из , то есть
Множество называется всюду плотным, если оно плотно в
Замечание
Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных: Множество плотно в тогда и только тогда, когда замыкание содержит , то есть . В частности, всюду плотно, если . Множество плотно в тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к не пересекается с , то есть . В частности, всюду плотно, если .
Примеры Множество рациональных чисел плотно в пространстве вещественных чисел .
См. также Нигде не плотное множество Сепарабельное пространство
Литература
Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979. Келли Дж. Л. Общая топология — : Наука, 1968 Энгелькинг Р. Общая топология — : Мир, 1986 Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология . Учебник в задачах (рус., англ.)
Категория:Общая топология