Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида
отображающий одно пространство функций в другое. Здесь — область в евклидовом пространстве , — функция, заданная на декартовом квадрате , называемая ядром интегрального оператора. Для вполне непрерывности оператора на ядро накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра, -ядра, а также полярные ядра. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.
Свойства
Линейность Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть .
Непрерывность Интегральный оператор с непрерывным на — замыкание области ядром , переводит в (и, следовательно, в и в ) и ограничен (непрерывен), причём
где .
Интегральный оператор с -ядром:
переводит в , непрерывен и удовлетворяет оценке:
Существуют условия непрерывности интегральных операторов из в .
Вполне непрерывность Интегральный оператор с непрерывным ядром является вполне непрерывным из в , то есть переводит любое множество, ограниченное в , в множество, предкомпактное в . Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с -ядром.
Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из в .
Сопряжённый оператор Сопряжённый оператор к оператору с -ядром в гильбертовом пространстве имеет вид
Если , то интегральный оператор Фредгольма является самосопряжённым
Обратный оператор При достаточно малых значениях оператор (где — единичный оператор) имеет обратный вида , где — интегральный оператор Фредгольма с ядром — резольвентой ядра .
См. также Интегральное уравнение Фредгольма Ядро интегрального уравнения Теория Фредгольма Альтернатива Фредгольма Компактный оператор
Примечания
Литература
Категория:Интегральные уравнения Категория:Теория Фредгольма Категория:Теория операторов