Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию утверждение не доказано. В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.

Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел, — в 1937 году была доказана Иваном Матвеевичем Виноградовым для всех достаточно больших нечётных чисел. После этого граница, начиная с которой гипотеза доказана, многократно улучшалась, но даже лучшие оценки давали границу не менее , пока в 2013 году Харальд Хельфготт не доказал справедливость гипотезы для границы (им же, совместно с Дэвидом Платтом, была проверена справедливость гипотезы для всех нечетных чисел, меньших , что окончательно доказало тернарную гипотезу). Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная: если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7. Вообще, проблема представления натурального числа суммой ограниченного количества простых чисел называется ослабленной проблемой Гольдбаха.

Эквивалентная формулировка бинарной гипотезы Гольдбаха: любое целое число больше 1 может быть представлено как среднее арифметическое двух (возможно, одинаковых) простых чисел.

История

В 1742 году математик Христиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется «тернарной проблемой Гольдбаха», второе — «бинарной проблемой Гольдбаха» (или «проблемой Эйлера»).

Гипотезу, сходную с тернарной проблемой Гольдбаха, но в более слабой форме, высказал Варинг в 1770 году: каждое нечётное — простое число или сумма трёх простых.

Тернарная проблема Гольдбаха В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент Константин Бороздин доказал, что нижняя граница не превышает 3315 ≈ 3,25×106 846 168 ≈ 106 846 168. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустилиJ. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144. нижнюю грань до ee11,503 ≈ 3,33339×1043 000 ≈ 1043 000,5, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показалиJean-Marc Deshouillers , Gove Effinger , Herman te Riele , Dmitrii Zinoviev , A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, pp. 99—104. 1997., что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 1020, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом ХельфготтомMajor arcs for Goldbach’s theorem , H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913.

Бинарная проблема Гольдбаха Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения. Она является одной из четырёх теоретико-числовых гипотез (проблем Ландау), выделенных в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат был немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери и Бобом Воганом. Они показали, что существуют положительные константы и такие, что количество чётных чисел, не больших , непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает .

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое четное число представимо в виде суммы не более чем простых чисел. Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем четырёх простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих 4×1018.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального видаYuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done . […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение разрешимо относительно при всех значениях параметра .

В культуре В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». В рекламных целях издательство «Faber and Faber» пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведён на десятки языков, в 2002 году появился его русский переводДядя Петрос и проблема Гольдбаха () на сайте Ozon..

Проблема Гольдбаха является важной составляющей сюжетов фильма «Западня Ферма», вышедшего в 2007 году, и пилотной серии сериала «Льюис» (2006 год), а также фильма «Теория простых чисел», вышедшего в 2023 году.

Примечания

Литература

Ссылки

Петров С. Абсолютное программирование. Рекурсия — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.

Категория:Аддитивная теория чисел Гольдбаха Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Теория простых чисел Категория:Появились в 1742 году Категория:Открытые математические проблемы