Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
Определение
Пусть и — римановы многообразия. Гладкое отображение называется римановой субмерсией, если для любой точки существует изометрическое линейное вложение такое, что есть ортогональная проекция. Здесь обозначает дифференциал отображения в точке .
Для вектора вектор называется горизонтальным поднятием .
Формула О’Нэйла Пусть — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей , на , значение тензора кривизны можно вычислить, используя формулу О’Нэйла . где — горизонтальные поднятия полей соответственно, — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей на .
В частности, , Замечания является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов и в этой точке.
Следствия Абсолютная величина в точке зависит только от точки и значений и в точке . Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну , то то же верно и для его базы.
Вариации и обобщения Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.
Литература
, том 2, стр. 326—379.
Субмерсия