Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативнойЛ. В. Сабинин, «Однородные пространства и квазигруппы», Изв. вузов. Матем., 1996, № 7, 77-84 и не обязана иметь нейтральный элемент. Любая ассоциативная квазигруппа с определенным на ней нейтральным элементом является группой.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из непустого множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что a * x = b y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

x = a \ b y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они равномощны как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что (x, y) = [xA, yB]C (здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Квазигруппа называется полностью антисимметричной, если выполняются ещё два свойства:

если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a, то a = b; если для некоторых a, b и c из квазигруппы оказалось, что ( a * b ) * c = ( a * c ) * b, то b = c.

В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века.

Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку (алгоритм Дамма).

Примеры Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b x = a−1 * b, y * a = b y = b * a−1. Целые числа () с операцией вычитания (−) являются квазигруппой. Ненулевые рациональные числа (или вещественные — ) с операцией деления (÷) являются квазигруппой. Множество {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются так же, как в кватернионах, является квазигруппой с единицей (лупой). Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной коммутативной квазигруппы.

Примечания

Литература Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп»  — : Наука, 1967. — 224с. Sabinin L.V. Smooth quasigroups and loops — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с. Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с. «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с. Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с. Михеев П. О., Сабинин Л. В. Гладкие квазигруппы и геометрия . Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.] Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6. Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.

Категория:Общая алгебра Категория:Неассоциативные алгебры