Репью́ниты (, от — повторённая единица) — натуральные числа , запись которых в системе счисления с основанием состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются : , , и т. д., и общий вид для них:
Репьюниты являются частным случаем репдигитов.
Факторизация десятичных репьюнитов
(Простые числа в факторизациях, окрашенные в , означают, что это новые простые числа в факторизациях Rn, которые не делят Rk для всех k < n)
R1 =1R2 =R3 = · R4 =11 · R5 = · R6 =3 · · 11 · · 37R7 = · R8 =11 · · 101 · R9 =32 · 37 · R10 =11 · 41 · 271 · R11 = · R12 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · R13 = · · R14 =11 · 239 · 4649 · R15 =3 · · 37 · 41 · 271 · R16 =11 · · 73 · 101 · 137 · R17 = · R18 =32 · 7 · 11 · 13 · · 37 · · 333667R19 =R20 =11 · 41 · 101 · 271 · · 9091 · R21 =3 · 37 · · 239 · · 4649 · R22 =112 · · · · 21649 · 513239R23 =R24 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · R25 =41 · 271 · · · R26 =11 · 53 · 79 · · 265371653 · R27 =33 · 37 · · 333667 · R28 =11 · · 101 · 239 · · 4649 · 909091 · R29 = · · · · R30 =3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · · · 271 · · 9091 · 2906161R31 = · · R32 =11 · 17 · 73 · 101 · 137 · · · · · · 5882353R33 =3 · 37 · · 21649 · 513239 · R34 =11 · · · 2071723 · 5363222357 · R35 =41 · · 239 · 271 · 4649 · · R36 =32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · R37 = · · R38 =11 · · 1111111111111111111R39 =3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · R40 =11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · ·
Свойства На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов для n, равных: (последовательность A004023 в OEIS) Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами. В результате умножения при получается палиндромическое число вида из цифр с цифрой посередине. Репьюнит является самопорождённым числом. Всякое положительное кратное репьюнита содержит не менее n ненулевых цифр. Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: . Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.
В культуре В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — .
Примечания
Литература Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28. Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
Категория:Целочисленные последовательности, зависящие от системы счисления