4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времениповороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты в трёхмерном пространстве, так и переходы между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой (преобразования Лоренца)..
Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.
В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:
причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть итд.
При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются такЗдесь, как принято в теории относительности, знак суммы опускается — повторение индекса внизу и вверху значит суммирование; см. Соглашение Эйнштейна о суммировании.:
,
где — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а — обратная ей.
Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.
Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора , например для 4-тензора второго ранга
Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.
Преимущества четырёхмерной записи Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.
Примеры 4-тензоры в ОТО метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствие гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он, обычно, имеет очень частный вид лоренцевой метрики). тензор кривизны тензор Риччи тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).
4-тензор электромагнитного поля
Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.
Определение через 4-потенциал 4-тензор определяется через производные от 4-потенциалаФормулы на этой странице записаны в системе СГСГ: .
Определение через трёхмерные векторы 4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:
Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.
Сила Лоренца Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид ,
где — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.
См. также 4-импульс 4-скорость 4-потенциал 4-ток Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса Тензор Эйнштейна Метрика пространства-времени
Примечания
Внешние ссылки
Категория:Теория относительности Категория:Тензорное исчисление