Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Происхождение понятия Момент в математике — прямая аналогия с понятием момента в физике и механике. В математике моменты функции — это количественные измерения, связанные с формой графика функции. Например, если функция представляет собой плотность вероятности, то первый момент — это ожидаемое значение, второй центральный момент — это дисперсия, третий стандартизированный момент — это асимметрия, а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс. Если функция описывает плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормализованный по полной массе) — это центр масс, а второй момент — это момент инерции.
Определения
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
-м нача́льным моментом случайной величины где называется величина
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено; -м центра́льным моментом случайной величины называется величина
-м абсолю́тным и -м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины и
-м факториальным моментом случайной величины называется величина
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых, но и для любых положительных действительных чисел в случае, если соответствующие интегралы сходятся.
Замечания
Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные: .
Геометрический смысл некоторых моментов равняется математическому ожиданию распределения. равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения. , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
называется коэффициентом асимметрии. показывает, насколько тяжелые у распределения хвосты. Величина
называется коэффициентом эксцесса распределения
Вычисление моментов
Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:
если
а для дискретного распределения с функцией вероятности :
если
Также моменты случайной величины могут быть вычислены через её характеристическую функцию :
Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
Обобщения
Можно также рассматривать нецелые значения . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента , называется преобразованием Меллина.
Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.
См. также Момент изображения
Примечания
Категория:Теория вероятностей