Изоморфизм групп — изоморфизм между группами: взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Изоморфные группы — группы, между которыми существует изоморфизм, с общеалгебраической точки зрения такие группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать. Стандартное обозначение изоморфных групп: , иногда используются обозначения , .
Для того, чтобы биекция между группами и была изоморфизмом достаточно, чтобы сохранялась групповая бинарная операция для любой пары элементов , поскольку сохранение перехода к обратному элементу () и нейтрального элемента () следуют из этого свойства. Ядро изоморфизма из в всегда состоит из единственного элемента — нейтрального элемента .
Автоморфизм группы — изоморфизм группы с самой собой.
В категории групп изоморфизм групп можно определить как двусторонний обратимый морфизм.
Примеры Группа всех вещественных чисел по сложению изоморфна группе всех положительных вещественных чисел по умножению , изоморфизмом служит экспонента .
Группа целых чисел по сложению является подгруппой , а факторгруппа изоморфна группе комплексных чисел с абсолютной величиной 1 (по умножению): , изоморфизм задаётся выражением для любого из .
Четверная группа Клейна изоморфна прямому произведению двух копий (сравнение по модулю), а следовательно, может быть записана как . Другая запись — , поскольку она является диэдрической группой. Обобщая, для всех нечётных , группа изоморфна прямому произведению и .
Для некоторых групп можно доказать изоморфизм с использованием аксиомы выбора, но такое доказательство не показывает, каким образом сконструировать конкретный изоморфизм. Например, в ZFC доказуемо, что группа изоморфна группе комплексных чисел по сложению, но это же утверждение недоказуемо в ZF (системе Цермело — Френкеля без аксиомы выбора). Также в системах с аксиомой выбора доказуем изоморфизм групп ненулевых комплексных чисел по умножению и .
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел по сложению; с общеалгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел по сложению является единственной бесконечной циклической группой. Все конечные циклические группы заданного порядка изоморфны .
Примечания
Литература
Категория:Теория групп Категория:Морфизмы