Параллелогра́мм ( ← — параллельный + — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Существуют другие варианты определения.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно). Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).
Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.
Свойства
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Стороны параллелограмма и опущенные на них высоты соотносятся следующим образом:
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: , где и — длины смежных сторон, а и — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).
Признаки параллелограмма Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: и ; все противоположные углы попарно равны: и ; у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: и ; все противоположные стороны попарно параллельны: и ; диагонали делятся в точке их пересечения пополам: и , где — точка пересечения диагоналей; сумма средних линий выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру; сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: , где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон и и синуса угла между ними: .
Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон и и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников: , где .
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Четырёхугольники