Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.
Определение Пусть , и — топологические пространства. Сюръективное непрерывное отображение называется локально тривиальным расслоением пространства над базой со слоем , если для всякой точки базы существует окрестность , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм , такой что коммутативна диаграмма . Здесь — проекция произведения пространств на первый сомножитель.
Пространство также называется тотальным пространством расслоения, или расслоенным пространством.
Связанные определения Сечение расслоения — это отображение , такое что . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть — многообразие, а — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении . Тогда сечение расслоения — это векторное поле без нулей на . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует. Множество называется слоем расслоения над точкой . Каждый слой гомеоморфен пространству , поэтому пространство называется общим (или модельным) слоем расслоения , Гомеоморфизм , отождествляющий ограничение расслоения над окрестностью точки с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения над окрестностью точки . Если — покрытие базы открытыми множествами, и — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство называется тривиализующим атласом расслоения . Предположим локально тривиальное расслоение снабжено покрытием базы с выделенной тривиализацией и сужение любого отображения сличения на слой принадлежит некоторой подгруппе группы всех автоморфизмов . Тогда называется локально тривиальным расслоением со структурной группой .
Примеры Тривиальное расслоение, то есть проекция на первый сомножитель. Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем. Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны. Если — топологическая группа, а — её замкнутая подгруппа, причём факторизация имеет локальные сечения, то является расслоением со слоем . Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью. Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение . Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой , а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально. Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство ), общий слой (пространство ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида с правилом отождествления: , если
Свойства Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы — локально тривиальное расслоение, отображения и , так что , и гомотопия отображения (то есть ). Тогда существует гомотопия отображения , такая что , то есть следующая диаграмма коммутативна
Пусть имеется локально тривиальное расслоение со слоем (иногда записываемое формально как ). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха: Если , то . Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа некоммутативна, одномерные когомологии не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха : , где — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.) Для любого локально тривиального расслоения и непрерывного отображения индуцированное расслоение является локально тривиальным.
Вариации и обобщения Локально тривиальные расслоения являются частным случаем расслоений Гуревича и расслоений Серра.
Если пространства — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением. Расслоение называется голоморфным, если пространства — комплексные многообразия, отображение — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации. Главное расслоение.
См. также Теория Янга — Миллса
Литература
Категория:Расслоения