Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция , такая, что для любых взаимно простых чисел и выполнено:
и .
При выполнении первого условия, требование равносильно тому, что функция не равна тождественно нулю.
Функции , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных , называются вполне мультипликативными. Функция вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных выполняется соотношение .
Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если:
для всех простых и всех натуральных .
Примеры: функция ― число натуральных делителей натурального ; функция ― сумма натуральных делителей натурального ; функция Эйлера ; функция Мёбиуса . функция является сильно мультипликативной. степенная функция является вполне мультипликативной.
Построение Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции на простых числах и их степенях, а также определить все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.
Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.
Если — мультипликативная функция, то функция
также будет мультипликативной. Обратно, если функция , определённая этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция также мультипликативна.
Более того, если и — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свёртка Дирихле:
См. также Мультипликативные функции в средневековом исламском мире
Литература
Категория:Арифметические функции