Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от — луч, радиус) — центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу этой окружности. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС.
Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану. Из определения следует, что величина полного угла равна радиан (см. рис. справа).
Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.
Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса и угловой величины , измеренной в радианах, равна .
Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.
Радиан в Международной системе единиц (СИ) В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентнаяПроизводная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице. безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — radГОСТ 8.417-2002 "Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин"..
Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду.
Кратные и дольные единицы Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.
Связь радиана с другими единицами
Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой: 1 радиан = 1/() оборотов = 180/ градусов = 200/ градов.
Развернутый угол равен или радианам. Отсюда имеется формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот:
[°] = [рад] × (360° / ()) или [рад] × (180° / ),
[рад] = [°] : (180° / ) = [°] × ( / 180°),
где [рад] — угол в радианах, [°] — угол в градусах.
1 рад (или ) = .
Мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: «Число радиана и порядок шутя пишу наизусть», где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды.
(или 1 рад в минутах) =
(или 1 рад в секундах) =
В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = . Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер не получила широкого распространения.
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), из отвлеченного числа () делают именованное () и поэтому следует умножать на или .
Переводя градусы в радианы, наоборот, уничтожают наименование, получая отвлечённое число. Здесь следует делить на или либо же умножать на перевёрнутую дробь
Пример 1: перевести в радианы
Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса, и однократного деления на (как правило, этот способ более точен)
Пример 2: перевести в градусы 1 радиан:
Итого
Таблица градусов, радиан и град + Таблица углов Угол, в долях от полного Градусы Радианы Грады Синус Косинус Тангенс не определён не определён
Радианная мера в математическом анализе При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.
При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше , — то до шестого знака после запятой (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
(точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой). Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы и ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки ():
История Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы.
Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».
См. также Град, минута, секунда Градус, минута, секунда Оборот (единица измерения) Парсек Стерадиан Тысячная (угол)
Примечания
Литература
Категория:Единицы измерения плоских углов Категория:Безразмерные параметры Категория:Единицы измерения отношения величин Категория:Естественные системы единиц Категория:Производные единицы СИ