Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Определение Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы: , где . Матрица называется матрицей главных коэффициентов. Если сигнатура полученной формы равна , то есть матрица имеет одно собственное значение, равное нулю, и собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу. Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде: , где  — эллиптический оператор, .

Решение параболических уравнений Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию. Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов. Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу. Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье. Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие для решаемой задачи.

Принцип максимума Для параболического уравнения вида:

Решение принимает своё максимальное значение либо при , либо на границе области .

Примеры параболических уравнений Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности. Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями. Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов или .

См. также Эллиптические уравнения Гиперболическое уравнение Автоволны

Примечания

Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных