Дискретная версия теоремы Грина описывает отношение между двойным интегралом функции для обобщенной прямоугольной области (область, которая образуется из конечного суммирования прямоугольников на плоскости) и линейной комбинации первообразной функции, заданной в углах области. В этом значении мы будем рассматривать популярную версию дискретной теоремы Грина.
Теорема названа в честь британского математика Джорджа Грина, из-за сходства с его теоремой, теоремой Грина: обе теоремы описывают связь между интегрированием по кривой и интегрированием по области, ограниченной кривой. Теорема была впервые представлена как непрерывное продолжение алгоритма Ванга «Интегральное представление изображений», в 2007 году на Международной конференции по компьютерному видению ICCV , а затем вновь была опубликована профессором Doretto и его коллегами в рецензируемом журнале в 2011 году.
Формулировка
Предположим что ƒ является интегрируемой функцией на плоскости R2, так что:
является её первообразной функцией. Пусть — обобщенная прямоугольная область. Тогда представим теорему как:
где — множество углов данной области D , является дискретным параметром с возможными значениями {0, ±1, ±2}, которые определяются в зависимости от типа угла, как показано на рисунке справа. Этот параметр является частным случаем стремления кривой , которая последовательно определяется при помощи одностороннего разрыва кривой в углах заданной области.
Эта теорема является естественным продолжением алгоритма таблицы обобщённой области. Эта теорема расширяет алгоритм в том смысле, что область может быть непрерывной и она может быть сформирована из (конечного) числа прямоугольников, тогда как в алгоритме таблицы обобщённой области предполагается, что область является единым прямоугольником.
Дискретная теорема Грина также обобщает теорему Ньютона-Лейбница.
Идея доказательства Для доказательства теоремы можно применить формулу из алгоритма "Интегрального представление изображений", которая включает в себя прямоугольники, образующие данную область:
Это изображение показывает, как + \ — коэффициенты первоначальной функции взаимно сокращаются в прямоугольниках, кроме точек расположенных в углах данной области.
Пример Предположим что функция ƒ, задана на плоскости R2 , тогда F является её первообразной функцией. Пусть D — это область, окрашенная зелёным на следующем рисунке:
Согласно теореме, примененимой к данной области, получается следующее выражение:
Приложения Дискретная теорема Грина используется в компьютерных приложениях по обнаружению объектов на изображениях и их быстрого вычисления, а также в интересах эффективного расчета вероятностей.
Обобщения В 2011 году были предложены два обобщения к теореме: Подход, предложенный профессором Фам и его коллегами: обобщение теоремы полигональных областей с помощью динамического программирования . Подход, предложенный математиком Шахар: обобщение теоремы на более широкий спектр областей при помощью оператора разрыва и метода интегрирования наклонной линии при помощи которых и была сформулирована дискретная теорема Грина .
Видео лекции Введение в полудискретные исчисления, стоящие за теорией о дискретной теореме Грина.
См. также Теорема Грина
Примечания
Категория:Дифференциальное исчисление Грина