В математическом анализе, ряд в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки ряд является сходящимся.
Свойства Если ряд является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент такой, что для произвольной перестановки Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rn, тогда вследствие теоремы Римана, ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся. Если — последовательность элементов гильбертова пространства H, то из безусловной сходимости ряда следует
Эквивалентные определения Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда: для произвольной последовательности , где , ряд является сходящимся. для произвольной последовательности , такой, что , ряд является сходящимся. для произвольной последовательности , ряд является сходящимся. для произвольного существует конечное подмножество такое, что для произвольного конечного подмножества
Пример Пусть дано пространство где — банахово пространство числовых последовательностей с нормой . Рассмотрим в нём последовательность где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.
См. также Абсолютная сходимость Условная сходимость
Ссылки Попов Михаил. Геометрия банаховых пространств Christopher Heil. A Basis Theory Primer
Литература Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции), К.: Радянська Школа, 1948. Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533. Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650. P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .
Категория:Функциональный анализ Категория:Сходимость