Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика) ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.
Название «омбилика» происходит от французского «ombilic», которое, в свою очередь, происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп».
Свойства В точке округления: главные кривизны поверхности совпадают. Первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны. любое касательное направление является главным направлением. Соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения. Индикатриса Дюпена является окружностью. Сеть линий кривизны (то есть линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность. Любая точка округления является либо эллиптической точкой поверхности (если главные кривизны не равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна поверхности в данной точке положительная), либо так называемой плоской точкой округления (если главные кривизны равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности в данной точке равны нулю). В первом случае в малой окрестности точки округления поверхность похожа на сферу, а во втором — на плоскость.
Примеры
В евклидовом пространстве с метрикой : Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления. Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон». Плоскость целиком состоит из плоских точек округления. Обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат.
Гипотеза Каратеодори Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая.
Обобщение Пусть ― гладкое многообразие произвольной размерности в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке определены собственных значений пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении . Точка называется омбиликой, если в ней набор содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задается на двумя независимыми уравнениями.Арнольд В. И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров). Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ().
Литература
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание. Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание. Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей