Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина примет определённое значение. Например, пусть — функция вероятности, тогда вероятность того, что примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения в функцию , которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 — это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.
Если — скалярная случайная величина, функция вероятности задаётся таблицей возможных значений с соответствующими вероятностями (); такая таблица носит название «ряд распределения»Е. С. Вентцель, А. А. Овчаров Теория вероятностей. М.:Наука (1973), см. с. 88..
Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Она играет ту же роль, что и плотность вероятности для непрерывной случайной величины (однако в последней ситуации речь идёт не о вероятности реализации конкретного значения , а о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал, которая находится интегрированием плотности вероятности по этому интервалу).
Определения
Функция произвольной вероятности Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество такое, что .
Функция , определённая следующим образом:
где — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности . Здесь важно понимать, что - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как , будучи определённой через , уже является функцией определённой над числами.
Функция вероятности дискретной случайной величины Пусть () — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру на (на ), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности дискретной случайной величины имеет вид: , или
где — множество значений, которые принимает .
Свойства функции вероятности Из свойств вероятности следует: . . Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности: . Если , то , , где — функция вероятности вектора , а — функция вероятности величины . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности . Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид: , при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.
Примеры дискретных распределений Распределение Бернулли; Биномиальное распределение; Геометрическое распределение; Гипергеометрическое распределение; Логарифмическое распределение; Отрицательное биномиальное распределение; Распределение Пуассона; Дискретное равномерное распределение; Мультиномиальное распределение.
См. также Плотность вероятности
Примечания
Категория:Теория вероятностей