Экспоненциальное отображение — обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.
Для риманова многообразия экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения в само многообразие .
Экспоненциальное отображение обычно обозначается , а его сужение на касательное пространство в точке обозначается и называется экспоненциальным отображением в точке .
Определение Пусть — риманово многообразие и . Для каждого вектора существует единственная геодезическая , выходящая из точки (то есть ), такая, что .
Экспоненциальное отображение вектора есть точка , или .
Свойства .
Для каждой точки существует такое число , что экспоненциальное отображение определено для всех векторов , удовлетворяющих условию . Более того, является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве в некоторую окрестность точки многообразия . Таким образом, в некоторой окрестности точки многообразия определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое ), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства .
В метрически полном римановом многообразии экспоненциальное отображение определено для любого касательного вектора (Теорема Хопфа — Ринова).
Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке является тождественным линейным оператором. То есть
для любого . Здесь мы отождествляем пространство, касательное к , с ним самим.
(Лемма Гаусса о геодезических) Для любых
где обозначает дифференциал экспоненциального отображения.
Для групп Ли с биинвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной .
Ссылки А. В. Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (ГЛАВА 10)
Литература Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание. М. М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия