Распределе́ние Стью́дента (-распределение) в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Уильям Сили Госсет (1876—1937) первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».
Распределение Стьюдента играет важную роль в статистическом анализе и используется, например, в t-критерии Стьюдента для оценки статистической значимости разности двух выборочных средних, при построении доверительного интервала для математического ожидания нормальной совокупности при неизвестной дисперсии, а также в линейном регрессионном анализе. Распределение Стьюдента также появляется в байесовском анализе данных, распределённых по нормальному закону.
График плотности распределения Стьюдента, как и нормального распределения, является симметричным и имеет вид колокола, но с более «тяжёлыми» хвостами, то есть реализациям случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, более свойственно сильно отличаться от математического ожидания. Это делает его важным для понимания статистического поведения определённых типов отношений случайных величин, в которых отклонение в знаменателе увеличено и может производить отдалённые величины, когда знаменатель соотношения близок к нулю.
Распределение Стьюдента — частный случай обобщённого гиперболического распределения.
История и этимология В статистике t-распределение было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 году Фридрихом Гельмертом и .
В англоязычной литературе распределение берёт название из статьи Уильяма Госсета в журнале Пирсона «Биометрика», опубликованной под псевдонимом «Стьюдент»«Student» (William Sealy Gosset), original Biometrika paper as a scan .
Госсет работал в пивоварне Гиннесс в Дублине, Ирландия, и применял свои знания в области статистики как при варке пива, так и на полях — для выведения самого урожайного сорта ячменя. Исследования были обращены к нуждам пивоваренной компании и проводились на малом количестве наблюдений, что послужило толчком для развития методов, работающих на малых выборках.
Госсету пришлось скрывать свою личность при публикации из-за того, что ранее другой исследователь, работавший на Гиннесс, опубликовал в своих материалах сведения, составлявшие коммерческую тайну компании, после чего Гиннесс запретил своим работникам публикацию любых материалов, независимо от содержавшейся в них информации.
Статья Госсета описывает распределение как «Частотное распределение стандартных отклонений выборок, извлечённых из генеральной совокупности». Оно стало известным благодаря работе Роналда Фишера, который называл распределение «распределением Стьюдента», а величину — буквой t.
Определение Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы .
Это распределение абсолютно непрерывно с плотностью: , где — гамма-функция Эйлера. Таким образом:
для чётных и соответственно
для нечётных . Также плотность распределения Стьюдента можно выразить воспользовавшись бета-функцией Эйлера : .
График функции плотности t-распределения симметричен, а его форма напоминает форму колокола, как у стандартного нормального распределения, но он ниже и шире.
Следующие графики отражают плотность t-распределения при увеличении числа степеней свободы. Можно наблюдать как по мере возрастания , кривая функции плотности все больше напоминает стандартное нормальное распределение.
+ Плотность t-распределения (красная линия) для 1, 2, 3, 5, 10 и 30 степеней свободыв сравнении со стандартным нормальным распределением (синяя линия). Предыдущие графики показаны зеленым.
Функция распределения Функция распределения может быть выражена через регуляризованную неполную бета-функцию . Для ,
где
Для значения можно получить в силу симметричности распределения.
Другая формула верна для : ,
где 2F1 является частным случаем гипергеометрической функции.
Частные случаи Распределение Стьюдента с одной степенью свободы () это стандартное распределение Коши.
Функция распределения: Плотность вероятности:
Распределение Стьюдента с двумя степенями свободы (): Функция распределения: Плотность вероятности: ;
Распределение Стьюдента с тремя степенями свободы ():
Плотность вероятности:
Распределение Стьюдента с бесконечным числом степеней свободы ():
Плотность вероятности совпадает с плотностью вероятности стандартного нормального распределения.
Свойства распределения Стьюдента Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то . Существуют только моменты порядка , и не существуют моменты порядка . При этом все существующие моменты нечетного порядка равны нулю. , если нечётно; , если чётно. В частности, Математическое ожидание , если . Дисперсия , если .
Характеристики Распределение Стьюдента с степенями свободы может быть определено как распределение случайной величины Hogg & Craig (1978, Sections 4.4 and 4.8.)
,
где — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение ; — случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с степенями свободы; и — независимые случайные величины . Пусть, , независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение ,
— выборочное среднее,
— несмещённая оценка дисперсии.
Тогда случайная величина
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.
Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, , так как выборочное среднее имеет нормальное распределение . Более того, можно показать, что эти две случайные величины (нормальная и хи-квадрат ) независимы.
Подставим получившиеся величины в величину
,
которая имеет распределение Стьюдента и отличается от тем, что стандартное отклонение заменено случайной величиной , . Заметим, что неизвестная дисперсия не появляется в , так как она была и в числителе, и в знаменателе. Госсет интуитивно получил плотность вероятности, установленную выше, где соответствует ; Фишер доказал это в 1925 году.
Распределение статистики критерия , зависит от , но не зависит от μ или σ2, что и делает распределение важным как в теории, так и на практике.
Как возникает t-распределение
Выборочная дисперсия Распределение Стьюдента возникает в связи с распределением выборочной дисперсии. Пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а её выборочную дисперсию. Тогда .
С этим фактом связано использование распределения Стьюдента в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего выборки из нормального распределения.
Байесовская статистика В байесовской статистике, нецентральное t-распределение встречается как маргинальное распределение коэффициента нормального распределения .
Зависимость неизвестной дисперсии выражается через:
где — это данные {xi}, а представляет собой любую другую информацию, которая могла быть использована для создания модели.
Когда данные неинформативны из теоремы Байеса следует
нормальное распределение и масштабированное обратное хи-квадрат распределение, где
.
Маргинализованный интеграл в таком случае имеет вид
после замены , где ,
получим
и оценку
теперь стандартный Гамма интеграл, который оценивается константой
это нестандартизированное t-распределение.
С помощью замены получаем стандартизированное t-распределение.
Дифференцирование выше было представлено для случая неинформативной априорной вероятности для и ; но очевидно, что любая априорная вероятность, ведет к смешению нормального распределения и масштабированного обратного хи-квадрат распределение, что нецентральному t-распределению с масштабированием и смещением на , параметр масштабирования будет в находиться под влиянием априорной информации и данных, а не только данных, как в примере выше.
Обобщения распределения Стьюдента
Нестандартизированное распределение Стьюдента Распределение Стьюдента можно обобщить до семейства функций с тремя параметрами, включающими коэффициент сдвига и коэффициент масштаба , через отношение
или , где классическое распределение Стьюдента с степенями свободы.
Плотность нестандартизированного распределения Стьюдента представляет собой репараметризованное распределение Пирсона типа VII и определяется следующим выражением
Здесь не является стандартным отклонением, как в нормальном распределении, это, вообще говоря, другой параметр масштаба. Однако при плотность распределения Пирсона типа VII стремится к плотности нормального распределения со стандартным отклонением .
В байесовском выводе предельное распределение неизвестного среднего значения выше чем , и соответствует , где
для ,
для
Такое распределение является результатом комбинации распределения Гаусса (нормального распределения) со средним значением и неизвестной дисперсией, с обратным гамма-распределением, с дисперсией, имеющей параметры и . Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной дисперсией, распределенной как обратная гамма, а затем дисперсия исключается. Такое свойство полезно из-за того, что обратное гамма-распределение — это сопряженное априорное распределение дисперсии распределения Гаусса, именно поэтому нестандартизированное распределение Стьюдента естественным образом возникает во многих байесовских задачах.
Эквивалентно, это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса с масштабированным обратным хи-квадрат распределением с параметрами and . Масштабированное обратное хи-квадрат распределение — точно то же самое распределение, что и обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, а именно .
Альтернативная параметризация на основании обратного параметра масштабирования λ (аналогично тому, как мера точности обратна дисперсии), определенная отношением ,
тогда плотность определяется как
Свойства:
для ,
для
Это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса со средним и неизвестной мерой точности (обратной дисперсии), с гамма-распределением с параметрами and . Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной гамма-распределённой мерой точности.
Нецентральное распределение Стьюдента Нецентральное распределение Стьюдента, это один способов обобщения стандартного распределения Стьюдента, включающий дополнительный коэффициент сдвига (параметр нецентральности) .
В нецентральном распределении Стьюдента медиана не совпадает с модой, то есть оно не симметрично (в отличие от нестандартизированного).
Это распределение важно для изучения статистической мощности t-критерия Стьюдента.
Дискретное распределение Стьюдента Дискретное распределение Стьюдента имеет следующую функцию распределения с r пропорциональным:Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (Table 5.1)
Где a, b, и k — параметры. Такое распределение возникает при работе с системами из дискретных распределений, таких как распределение Пирсона.Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (Chapter 5)
Связь с другими распределениями Распределение Стьюдента является распределением Пирсона типа VII. Распределение Стьюдента с одной степенью свободы () это стандартное распределение Коши: . Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда: по распределению при . Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, также имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда: .
Обобщение распределения Гаусса Мы можем получить выборку с t-распределением, взяв отношение величин из нормального распределения и квадратный корень из распределения хи-квадрат.
где — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что