Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.
Определение Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:
Тогда говорят, что имеет распределение Вейбулла. Пишут: .
Если величину принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда: < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем В материаловедении коэффициент известен как модуль Вейбулла.
Свойства
Функция плотности Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < < 1 плотность стремится к бесконечности при и строго убывает. Для = 1 плотность стремится к при и строго убывает. Для > 1 плотность стремится к 0 при , возрастает до достижения своей моды и убывает после. Плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в = 0 при 0 < < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в = 0 при 1 < < 2, и нулевой угловой коэффициент в = 0 при > 2. При = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в = 0. При распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в = . Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.
Функция распределения Функция распределения Вейбулла:
при ≥ 0, и = 0 при < 0
Квантиль распределения Вейбулла:
при 0 ≤ < 1.
Интенсивность отказов :
Моменты Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла
где — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма задаётся
Моменты случайной величины , имеющей распределение Вейбулла имеют вид , где — гамма-функция, откуда , .
Коэффициент асимметрии задаётся функцией
Коэффициент эксцесса
где , так же может быть записан:
Производящая функция моментов Существует множество выражений для производящей функции моментов самой
Так же можно работать непосредственно с интегралом
Если коэффициент предполагается рациональным числом, выраженным = , где и целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.См. для случая целого , и в случае рационального. С заменой на , получается
где — это G-функция Мейера.
Информационная энтропия Информационная энтропия задаётся таким образом
где — это Постоянная Эйлера — Маскерони.
Оценка коэффициентов
Наибольшее правдоподобие Оценка максимального правдоподобия для коэффициента
Для
Условная функция надёжности Вейбулла Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:
или
Для 3-х параметрического:
Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё времени при условии, что он уже проработал .
График Вейбулла Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — и Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде
Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.
Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя , где — это ранг точки данных, а — это общее количество точек.Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
Использование Распределение Вейбулла используется: В анализе выживаемости В надёжности и анализе отказов В электротехнике для представления перенапряжения, возникающего в электрических цепях В промышленной инженерии В теории экстремальных значений
В прогнозировании погоды Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами помех В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях В прогнозировании технологических изменений В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении. В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга
Связь с другими распределениями 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности
где и при , где — коэффициент формы, — коэффициент масштаба и — коэффициент сдвига распределения. Когда , оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла. 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая и — константа:
Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального. Если — экспоненциальное распределение для параметра , то случайная величина имеет распределение Вейбулла . Для доказательства рассмотрим функцию распределения :
Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла. Метод обратного преобразования: если , то . С распределением Фреше: если , то . С распределением Гумбеля: если , то . Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при и Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте функция распределения имеет вид
где : Размер частицы : 80-й процентиль распределения размера частиц : Коэффициент, описывающий размах распределения
Примечания
Литература .
. .
.
Ссылки Примеры графиков функции распределения Вейбулла Распределение Вейбулла Weibull Distribution Построение графиков распределения Вейбулла в excel
Категория:Непрерывные распределения