Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Определение Пусть — выборка объёма , порождённая случайной величиной , задаваемой функцией распределения . Будем считать, что , где , — независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов . Пусть . Определим функцию следующим образом: , где — индикатор события , — функция Хевисайда. Таким образом, значение функции в точке равно относительной частоте элементов выборки, меньших значения . Функция называется выборочной функцией распределения случайной величины , или эмпирической функцией выборки, и является аппроксимацией для функции . Существует теорема Колмогорова, утверждающая, что при функция равномерно сходится к , и указывающая скорость сходимости. Для каждого положительного , — случайная величина со значением .
Основные свойства Пусть зафиксирован элементарный исход . Тогда является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности: , где , а — количество элементов выборки, равных . В частности, если все элементы выборки различны, то .
Математическое ожидание этого распределения имеет вид: . Таким образом, выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения. Аналогично, выборочная дисперсия — это теоретическая дисперсия выборочного распределения.
Случайная величина имеет биномиальное распределение: .
Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения : .
Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид: .
Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения: почти наверное при .
Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если , то по распределению при .
См. также Гистограмма (статистика) Теорема Гливенко — Кантелли Теорема Колмогорова
Категория:Выборочный метод