Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
и расширенная теорема синусов:
Для произвольного треугольника
где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной около треугольника.
Доказательства
Доказательство обычной теоремы синусов Воспользуемся только определением высоты треугольника, опущенной на сторону , и синуса для двух углов:
Следовательно, , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎
Доказательство расширенной теоремы синусов Достаточно доказать, что
Проведем диаметр для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой, а угол равен либо , если точки и лежат по одну сторону от прямой , либо в противном случае. Поскольку , в обоих случаях получаем
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Вариации и обобщения В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
В симплексе
где — угол между гранями и ; — общая грань и ; — объём симплекса.
История В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется. Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X векеSesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in . В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.
Вариации и обобщения Сферическая теорема синусов На плоскости Лобачевского с кривизной теорема синусов принимает следующую форму: Теорема косинусов Теорема котангенсов Теорема о проекциях Теорема Пифагора Теорема тангенсов Тригонометрические тождества Тригонометрические функции Формулы Мольвейде
Примечания
Категория:Тригонометрия Категория:Геометрия треугольника Синусов