Среднее степенное (среднее обобщённое, среднее по Гёльдеру, среднее по Минковскому) — разновидность среднего значения, обобщающее ряд самых известных средних; для набора положительных вещественных чисел среднее степени определяется как: .
По принципу непрерывности относительно показателя доопределяются следующие величины:
Обобщает среднее арифиметическое (), среднее геометрическое (), среднее гармоническое () — так называемые архимедовы средние, а также среднее квадратичное (), среднее кубическое (), среднее биквадратическое (). В свою очередь, само среднее степенное является частным случаем колмогоровского среднего при выборе степенной функции в качестве опорной.
Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное для величин с весами.
Неравенство о средних утверждает, что для любых имеет место , причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов . Результат следует из того, частная производная по неотрицательна и обращается в нуль только при (например, в связи с неравенством Йенсена), и далее может быть применена формула конечных приращений. Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом является его частным случаем.
Ссылки
Степенное