Banachov prôstor [banahov ~] je v matematiki in še posebej funkcionalni analizi polni normirani vektorski prostor. Tako je vektorski prostor z metriko, ki omogoča izračunavanje vektorske dolžine in razdalje med vektorji in je poln v smislu, da Cauchyjevo zaporedje vedno konvergira k dobro definirani limiti znotraj prostora.
Banachovi prostori se imenujejo po poljskem matematiku Stefanu Banachu, ki je uvedel ta koncept in ga sistematično proučeval med letoma 1920 in 1922 skupaj s Hansom Hahnom in Eduardom Hellyjem. Maurice René Fréchet je prvi uporabil izraz »Banachov prostor«, nato pa je Banach skoval izraz »Fréchetov prostor«. Banachovi prostori so izvirno nastali iz zgodnejše raziskave o funkcijskih prostorih Davida Hilberta, Frécheta in Frigvesa Riesza. Banachovi prostori imajo osrednjo vlogo v funkcionalni analizi. Na drugih področjih matematične analize so prostori, ki se raziskujejo, velikokrat Banachovi.
Definicija
Banachov prostor je polni normirani vektorski prostor . Normirani prostor je par , sestavljen iz vektorskega prostora nad skalarnim poljem (kjer je običajno ali ) skupaj z razločno normo . Kot vse norme tudi ta norma inducira translacijsko invariantno funkcijo razdalje, imenovano kanonična ali (normno) inducirana metrika, definirana za vse vektorje z:
To naredi v metrični prostor . Zaporedje se imenuje ali ali , če za vsako realno število obstaja nek tak indeks , da velja:
kadarkoli sta in večja od . Normirani prostor se imenuje , kanonična metrika pa se imenuje , če je , kar po definiciji pomeni, da za vsako Cauchyjevo zaporedje v obstaja nek takšen , da velja:
kjer se zaradi ta konvergenca zaporedja lahko enakovredno izrazi kot:
Norma normiranega prostora se imenuje , če je Banachov prostor.
L-polskalarni produkt
Za vsak normirani prostor obstaja takšen L-polskalarni produkt na , da velja za vse . V splošnem je lahko neskončno mnogo L-polskalarnih produktov, ki zadovoljujejo temu pogoju. L-polskalarni produkti so posplošitev prostorov skalarnih produktov, ki so tisto, po čemer se Hilbertovi prostori bistveno razlikujejo od vseh drugih Banachovih prostorov. To kaže, da se lahko vse normirane prostore (in s tem vse Banachove prostore) obravnava kot posplošitve (pre)hilbertovih prostorov.
Karakterizacija v smislu vrste
Struktura vektorskega prostora omogoča, da se poveže obnašanje Cauchyjevih zaporedij z obnašanjem konvergenčnih zaporedij vektorjev. Normirani prostor je Banachov, če in samo če vsaka absolutno konvergentna vrsta v konvergira v ., Izrek 1.3.9, str. 20.
Topologija
Kanonična metrika normiranega prostora inducira običajno metrično topologijo na , ki se imenuje kanonična ali normno inducirana topologija. Za vsak normirani prostor se samodejno privzema, da nosi to Hausdorffovo topologijo, razen če ni navedeno drugače. S to topologijo je vsak Banachov prostor Baireov prostor, čeprav obstajajo normirani prostori, ki so Baireovi, na pa Banachovi. Norma je vedno zvezna funkcija glede na topologijo, ki jo inducira.
Odprta in zaprta krogla polmera s središčem v točki sta torej množici:
Vsaka takšna krogla je konveksna in omejena podmnožica , vendar kompaktna krogla/okolica obstaja, če in samo če je končnorazsežni vektorski prostor. Še posebej noben neskončnorazsežni normirani prostor ne more biti krajevno kompakten ali imeti Heine-Borelove lastnosti. Če je vektor in skalar, potem velja:
Če se uporabi , se vidi, da je ta z normo inducirana topologija translacijsko invariantna, kar pomeni, da za kateri koli in je podmnožica odprta (in zaprta) v , če in samo če to velja za njeno translacijo . Posledično je topologija, inducirana z normo, v celoti določena s katero koli bazo okolice v izhodišču. Nekatere pogoste baze okolic na izhodišču vključujejo:
kjer je zaporedje pozitivnih realnih šštevil, ki konvergira k v (kot je na primer ali ). Tako se lahko na primer vsaka odprta podmnožica prostora zapiše kot unija:
indeksirana s kakšno podmnožico , kjer se lahko vsak izbere iz zgoraj omenjenega zaporedja (odprte krogle se lahko zamenjajo z zaprtimi, čeprav se morajo zamenjati tudi indeksna množica in polmeri ). Poleg tega se lahko vedno izbere kot števna, če je , kar po definiciji pomeni, da vsebuje kakšno števno gosto podmnožico.
Razredi homeomorfizmov separabilnih Banachovih prostorov
Vsi končnorazsežni normirani prostori so separabilni Banachovi prostori in poljubna dva Banachova prostora z enako končno razsežnostjo sta linearno homeomorfna. Vsak separabilni končnorazsežni Hilbertov prostor je linearno izometrično izomorfen separabilnemu Hilbertovemu prostoru zaporedja s svojo običajno normo .
Anderson-Kadecov izrek pravi, da je vsak neskončnorazsežni separabilni Fréchetov prostor homeomorfen produktnemu prostoru števno mnogih kopij (ta homeomorfizem ni treba da je linearna transformacija). Tako so vsi neskončnorazsežni separabilni Fréchetovi prostori homeomorfni med seboj (ali rečeno drugače – njihova topologija je edinstvena do homeomorfizma). Ker je vsak Banachov prostor Fréchetov, velja to tudi za vse neskončnorazsežne separabilne Banachove prostore, vključno z . je dejansko homeomorfen celo svoji lastni enotski , kar je v ostrem nasprotju s končnorazsežnimi prostori (evklidska ravnina na primer ni homeomorfna enotski krožnici).
Ta vzorec v razredih homeomorfizmov se razširi na posplošitve metrizabilnih (krajevno evklidskih) topoloških mnogoterosti, znanih kot in so metrični prostori, ki so okrog vsake točke, krajevno homeomorfni poljubni odprti podmnožici danega Banachovega prostora (metrične Hilbertove mnogoterosti in metrične Fréchetove mnogoterosti so definirane podobno). Vsaka odprta podmnožica Banachovega prostora je na primer kanonično metrična Banachova mnogoterost po vzoru na , ker je inkluzivna preslikava odprti krajevni homeomorfizem. Z uporabo mikrosvežnjev Hilbertovega prostora je David Wilson Henderson leta 1969 pokazal, da je vsako metrično mnogoterost, modelirano na separabilnem neskončnorazsežnem Banachovem (ali Fréchetovem) prostoru, mogoče topološko vložiti kot podmnožico , kar posledično tudi dopušča edinstveno gladko strukturo, zaradi česar je Hilbertova mnogoterost .
Kompaktne in konveksne podmnožice
Obstaja kompaktna podmnožica od katere konveksna ogrinjača zaprta in zato tudi kompaktna (za primer glej to opombo ). Vendar, kot v vseh Banachovih prostorih, bo zaprta konveksna ogrinjača te (in vsake druge) kompaktne podmnožice kompaktna. Toda če normirani prostor ni poln, potem na splošno zagotovljeno da bo kompaktna kadar je kompaktna . Zgled se lahko najde celo v (nepolnem) prehilbertovem vektorskem podprostoru .
Kot topološki vektorski prostor
Ta z normo inducirana topologija prav tako omogoča v tisto, kar je znano kot topološki vektorski prostor, ki je po definiciji vektorski prostor, opremljen s topologijo, ki naredi operacije seštevanja in skalarnega množenja zvezne. Poudarja se, da je topološki vektorski prostor je vektorski prostor skupaj z določeno vrsto topologije; to pomeni, da ko se obravnava kot topološki vektorski prostor, povezan z nobeno posebno normo ali metriko (obe sta »pozabljeni«). Ta Hausdorffov topološki vektorski prostor je celo krajevno konveksen, ker množica vseh odprtih krogel s središčem v izhodišču tvori bazo okolice v izhodišču, ki jo sestavljajo konveksne uravnotežene odprte množice. Ta topološki vektorski prostor je tudi , kar se po definiciji nanaša na vsak topološki vektorski prostor, katerega topologijo inducira neka (morda neznana) norma. Za normirajoče topološke vektorske prostore je značilno, da so Hausdorffovi in imajo omejeno konveksno okolico izhodišča. Vsi Banachovi prostori so sodasti prostori, kar pomeni, da je vsak sod okolica izhodišča (vse zaprte krogle s središčem v izhodišču so na primer sodi) in zagotavlja, da Banach-Steinhausov izrek velja.
Primerjava polnih metrizabilnih vektorskih topologij
Izrek o odprti preslikavi (Banach-Schauderjev izrek ali Banachov izrek) implicira, da če sta in topologiji na , ki naredita tako kot polna metrizabilna topološka vektorska prostora (na primer Banachove ali Fréchetove prostore) in, če je ena topologija bolj fina ali groba od druge, morata biti enaki, (to je, če ali , potem .) Tako na primer, če sta in Banachova prostora s topologijama in , in, če ima eden od teh prostorov kakšno odprto kroglo, ki je tudi odprta podmnožica drugega prostora (ali enakovredno, če je eden od ali zvezen), potem sta njuni topologiji enaki in njuni normi enakovredni.
Polnost
Polne norme in ekvivalentne norme
Dve normi in na vektorskem prostoru sta , če inducirata isto topologijo. To se zgodi, če in samo če obstajata takšni pozitivni realni števili , da velja za vse . Če sta in dve ekvivalentni normi na vektorskem prostoru , potem je Banachov prostor, če in samo če je tudi Banachov prostor. Glej to opombo za primer zvezne norme na Banachovem prostoru, ki ekvivalentna dani normi tega Banachovega prostora. Vse norme na končnorazsežnem vektorskem prostoru so ekvivalentne in vsak končnorazsežni normirani prostor je Banachov prostor., Posledica 1.4.18, str. 32.
Polne norme proti polnim metrikam
Metrika na vektorskem prostoru je inducirana z normo na , če in samo če je translacijska invarianta in , kar pomeni, da velja za vse skalarje in vse – v tem primeru funkcija definira normo na in kanonična metrika, ki jo inducira , je enaka .
Naj je normirani prostor in naj je normna topologija inducirana na . Predpostavi se, da je takšna metrika na , da je topologija , ki se inducira na enaka . Če je translacijska invarianta, potem je Banachov prostor, če in samo če je polni metrični prostor. Če translacijska invarianta, je možno da je Banachov prostor, vendar polni metrični prostor (glej opombo za primer). Nasprotno Kleejev izrek, ki tudi velja za vse metrizabilne topološke vektorske prostore, nakazuje, da če obstaja polna metrika na , ki inducira normno topologijo na , potem je Banachov prostor.
Fréchetov prostor je krajevno konveksni topološki vektorski prostor katerega topologija inducira neka translacijsko invariantna polna metrika. Vsak Banachov prostor je Fréchetov prostor, obratno pa ne velja – res, obstajajo tudi Fréchetovi prostori na katerih nobena norma ni zvezna funkcija, (kot je na primer prostor realnih zaporedij s produktno topologijo). Vendar pa je topologija vsakega Fréchetovega prostora inducirana z neko števno družino realnih (nujno zveznih) preslikav, imenovanih polnorme, ki so posplošitve norm. Možno je celo, da ima Fréchetov prostor topologijo, ki jo inducira števna družina , (takšne norme bi bile nujno zvezne), vendar prostor ne bi bil Banachov/normizabilen, ker njegovo topologijo ne more definirati katera koli norma. Zgled takšnega prostora je Fréchetov prostor , katerega definicijo se lahko najde v članku o prostorih testnih funkcij in porazdelitev.
Polne norme proti polnim topološkim vektorskim prostorom