thumb|right|220px|Dvorazsežna rezina šestrazsežne Calabi-Jaujeve kvintične mnogoterosti. Calabi-Jaujeva mnogoterost, znana tudi kot Calabi-Jaujev prostor, je v algebrski in diferencialni geometriji posebna vrsta mnogoterosti z določenimi lastnostmi, kot je Riccijeva ploskost, kar omogoča rabo v teoretični fiziki. Še posebej se v teoriji superstrun domneva, da imajo dodatne razsežnosti prostora-časa obliko šestrazsežne Calabi-Jaujeve mnogoterosti, kar je vodilo do zamisli o zrcalni simetriji. Njihovo ime so skovali Philip Candelas, Gary Todd Horowitz, Andrew Strominger in Edward Witten leta 1985, po Eugeniu Calabiju, ki je prvi domneval, da kompaktne kompleksne mnogoterosti Kählerjevega tipa z izginjajočim prvim Chernovim razredom vedno priznavajo Riccijevo plosko Kählerjevo metriko, in Šingtungu Jauju, ki je dokazal Calabijevo domnevo.
Calabi-Jaujeve mnogoterosti so kompleksne mnogoterosti, ki so posplošitve ploskev K3 v poljubnem številu kompleksnih razsežnosti (tj. poljubnem sodem številu realnih razsežnosti). Prvotno so bile definirane kot kompaktne Kählerjeve mnogoterosti z izginjajočim prvim Chernovim razredom in Riccijevo plosko metriko, čeprav se včasih rabi mnogo drugih podobnih, a neenakovrednih definicij.
Definicije
Definicijo je spodbudilo Jaujevo delo, ki je dokazal Calabijevo domnevo, da vsaka kompaktna Kählerjeva mnogoterost z izginjajočim prvim Chernovim razredom dopušča tudi (običajno drugačno) Kählerjevo metriko z izginjajočim Riccijevim tenzorjem.
Obstaja mnogo drugih definicij Calabi-Jaujeve mnogoterosti, ki jih rabijo različni avtorji, nekatere pa so neenakovredne. Ta razdelek povzema nekatere bolj pogoste definicije in odnose med njimi.
Calabi-Jaujeva -terost ali Calabi-Jaujeva mnogoterost (kompleksne) razsežnosti je včasih definirana kot kompaktna -razsežna Kählerjeva mnogoterost , ki izpolnjuje enega od naslednjih enakovrednih pogojev: kanonski sveženj premic je trivialen. ima holomorfno -formo, ki nikjer ne izgine. strukturno grupo tangentnega svežnja je mogoče zmanjšati z unitarno grupo do specialne unitarne grupe na način, ki je združljiv s kompleksno strukturo. ima Kählerjevo metriko z globalno holonomijo, ki jo vsebuje .
Ti pogoji pomenijo, da prvi integralni Chernov razred mnogoterosti izgine. Vendar obratno ne drži. Najenostavnejši primeri, kjer se to zgodi, so hipereliptične ploskve, končni količniki kompleksnega torusa kompleksne razsežnosti 2, ki imajo izginjajoč prvi integralni Chernov razred, vendar netrivialni kanonski sveženj.
Za kompaktno kompleksno -razsežno mnogoterost , ki dopušča Kählerjeve metrike, so naslednji pogoji med seboj enakovredni, vendar so šibkejši od zgornjih pogojev, čeprav se včasih rabijo kot definicija Calabi-Jaujeve mnogoterosti: ima izginjajoči prvi realni Chernov razred. ima Kählerjevo metriko z izginjajočo Riccijevo ukrivljenostjo. ima Kählerjevo metriko s krajevno holonomijo, ki jo vsebuje . pozitivna potenca kanonskega svežnja je trivialna. ima končno kritje s trivialnim kanonskim svežnjem. ima končno kritje, ki je produkt torusa in enostavno povezane mnogoterosti s trivialnim kanonskim svežnjem.
Če je kompaktna Kählerjeva mnogoterost enostavno povezana, potem je šibka definicija zgoraj enakovredna močnejši definiciji. Enriquesove ploskve dajejo primere kompleksnih mnogoterosti, ki imajo Riccijevo ploske metrike, vendar njihovi kanonski svežnji niso trivialni, zato so Calabi-Jaujeve mnogoterosti po drugi, ne pa po prvi zgornji definiciji. Po drugi strani pa so njihova dvojna kritja Calabi-Jaujeve mnogoterosti za obe definiciji (pravzaprav ploskve K3).
Daleč najtežji del dokazovanja enakovrednosti med različnimi zgornjimi lastnostmi je dokazovanje obstoja Riccijevo ploskih metrik. To izhaja iz Jaujevega dokaza Calabijeve domneve, ki implicira, da ima kompaktna Kählerjeva mnogoterost z izginjajočim prvim realnim Chernovim razredom Kählerjevo metriko v istem razredu z izginjajočo Riccijevo ukrivljenostjo. (Razred Kählerjeve metrike je kohomološki razred njene pridružene 2-forme.) Calabi je pokazal, da je takšna metrika edinstvena.
Včasih se rabi mnogo drugih neenakovrednih definicij Calabi-Jaujevih mnogoterosti, ki se med seboj (med drugim) razlikujejo na naslednje načine: prvi Chernov razred lahko izgine kot integralni razred ali kot realni razred. večina definicij trdi, da so Calabi-Jaujeve mnogoterosti kompaktne, nekatere pa dovoljujejo, da so tudi nekompaktne. Pri posplošitvi na nekompaktne mnogoterosti mora razlika asimptotično izginiti. Tukaj je Kählerjeva forma, povezana s Kählerjevo metriko . nekatere definicije postavljajo omejitve na fundamentalno grupo Calabi–Jaujeve mnogoterosti zahtevajo na primer, da je končna ali trivialna. Poljubna Calabi–Jaujeva mnogoterost ima končno kritje, ki je produkt torusa in enostavno povezane Calabi–Jaujeve mnogoterosti. nekatere definicije zahtevajo, da je holonomija natančno enaka in ne le njeni podgrupi, kar pomeni, da Hodgeeva števila izginejo za . Abelove ploskve imajo Riccijevo ploskov metriko s holonomijo, ki je strogo manjša od (pravzaprav trivialna), zato v skladu s takšnimi definicijami niso Calabi-Jaujeve mnogoterosti. večina definicij predpostavlja, da ima Calabi-Jaujeva mnogoterost Riemannovo metriko, nekatere pa jih obravnavajo kot kompleksne mnogoterosti brez metrike. večina definicij predpostavlja, da mnogoterost ni singularna, nekatere pa dovoljujejo blage singularnosti. Čeprav Chernov razred ni dobro definiran za singularne Calabi-Jaujeve mnogoterosti, sta kanonski sveženj in kanonski razred še vedno lahko definirana, če so vse singularnosti Gorensteinove, in se zato lahko rabita za razširitev definicije gladke Calabi-Jaujeve mnogoterosti na morebitno singularno Calabi-Jaujevo mnogoterost.
Primeri
Temeljno dejstvo je, da je vsaka gladka algebrska varieteta, vložena v projektivni prostor, Kählerjeva mnogoterost, ker obstaja naravna Fubini-Studyjeva metrika na projektivnem prostoru, ki jo je mogoče omejiti na algebrsko varieteto. Po definiciji, če je Kählerjeva metrika na algebrski varieteti in je kanonski sveženj trivialen, potem je Calabi-Jaujeva mnogoterost. Poleg tega obstaja edinstvena Kählerjeva metrika na , tako da velja dejstvo, ki ga je domneval Calabi in dokazal Jau (glej Calabijeva domneva).
Calabi-Jaujeve algebrske krivulje
V eni kompleksni razsežnosti so edini kompaktni primeri torusi, ki tvorijo družino z enim parametrom. Riccijeva ploska metrika na torusu je pravzaprav ploska metrika, tako da je holonomija trivialna grupa . Enorazsežna Calabi-Jaujeva mnogoterost je kompleksna eliptična krivulja in še posebej algebrska.
Calabi-Jaujeve algebrske ploskve
V dveh kompleksnih razsežnostih ploskve K3 predstavljajo edine kompaktne enostavno povezane Calabi-Jaujeve mnogoterosti. Te je mogoče skonstruirati kot kvartične ploskve v , kot je kompleksna algebrska mnogoterost, definirana z izginjajočim geometrijskim mestom točk:
Druge primere je mogoče skonstruirati kot eliptične fibracije, kot količnike Abelovih ploskev ali kot polna presečišča.
Neenostavno povezani primeri so dane z Abelovimi ploskvami, ki so realni 4-torusi opremljeni s kompleksno strukturo mnogoterosti. Enriquesove ploskve in hipereliptične ploskve imajo prvi Chernov razred, ki izgine kot element realne kohomološke grupe, ne pa kot element integralne kohomološke grupe, zato zanje še vedno velja Jaujev izrek o obstoju Riccijeve ploske metrike, vendar se jih včasih ne šteje za Calabi-Jaujeve mnogoterosti. Abelove ploskve so včasih izključene iz klasifikacije Calabi-Jaujevih mnogoterosti, saj je njihova holonomija (spet trivialna grupa) prava podgrupa , namesto da bi bile izomorfne . Vendar pa podmnožica Enriquesove ploskve ne ustreza v celoti podgrupi v pokrajini teoriji strun.
Calabi-Jaujeve triterosti
V treh kompleksnih razsežnostih je klasifikacija možnih Calabi-Jaujevih mnogoterosti odprt problem, čeprav Jau sumi, da obstaja končno število družin (čeprav mnogo večje število od njegove ocene izpred 20 let). Miles Reid je prav tako domneval, da je število topoloških tipov Calabi-Jaujevih 3-terosti neskončno in da jih je mogoče vse zvezno (z določenimi blagimi singularizacijami, kot so koniterosti) transformirati eno v drugo podobno kot Riemannove ploskve. Primer trirazsežne Calabi-Jaujeve mnogoterosti je nesingularna kvintična triterost v , ki je algebrska varieteta, sestavljena iz vseh ničel homogenega kvintičnega polinoma v homogenih koordinatah . Drug primer je gladek model Barth-Nietove kvintike. Nekateri diskretni količniki kvintike z različnimi akcijami so prav tako Calabi-Jaujeve mnogoterosti in so v literaturi deležni veliko pozornosti. Eden od teh je povezan s prvotno kvintiko z zrcalno simetrijo.
Za vsako pozitivno celo število je ničelna množica v homogenih koordinatah kompleksnega projektivnega prostora nesingularnega homogenega polinoma stopnje v spremenljivkah kompaktna Calabi-Jaujeva -terka. Primer opisuje eliptično krivuljo, pa da ploskev K3.
Na splošno se lahko Calabi-Jaujeve varietete/orbiterosti najde kot utežena polna presečišča v uteženem projektivnem prostoru. Glavno orodje za iskanje takšnih prostorov je formula adjunkcije.
Vse hiperkählerjeve mnogoterosti so Calabi-Jaujeve mnogoterosti.
Konstrukcije iz algebrskih krivulj
Za algebrsko krivuljo se lahko skonstruira kvaziprojektivno Calabi-Jaujevo triterost kot totalni prostor , kjer je . Za kanonsko projekcijo se lahko najde da je relativno tangentni sveženj enak z rabo relativnega tangentnega zaporedja:
in z opazovanjem edinih tangentnih vektorjev v vlaknu, ki niso v predpodobi , ki so kanonsko povezani z vlakni vektorskega svežnja. S tem se lahko rabi relativno kotangensno zaporedje:
skupaj z lastnostmi klinastih potenc, da je
in , kar daje trivialnost .
Konstrukcije iz algebrskih ploskev
Z rabo podobnega argumenta kot za krivulje, totalni prostor kanonskega snopa za algebrsko ploskev tvori Calabi-Jaujevo triterost. Preprost primer je nad projektivnim prostorom.
Rabe v teoriji superstrun
Calabi-Jaujeve mnogoterosti so pomembne v teoriji superstrun. V bistvu so Calabi-Jaujeve mnogoterosti oblike, ki izpolnjujejo zahteve po prostoru za šest »nevidnih« prostorskih razsežnosti teorije strun, ki so lahko manjše od krajevnih trenutno opazovanih dolžin, saj še niso bile zaznane. Priljubljena alternativa, znana kot velike dodatne razsežnosti, ki se pogosto pojavlja v modelih branskih svetov, je, da je Calabi-Jaujeva velika, vendar obstaja omejenost na majhno podmnožico, na kateri seka D-bransko strukturo. Trenutno se raziskujejo nadaljnje razširitve v višje razsežnosti z dodatnimi posledicami za splošno teorijo relativnosti.
V najbolj običajnih modelih superstrun naj bi deset domnevnih razsežnosti v teoriji strun nastalo kot štiri, od katerih se jih pozna, in ki nosijo nekakšno fibracijo z vlakensko razsežnostjo šest. Kompaktifikacija na Calabi-Jaujevih -terostih je pomembna, ker pusti nekaj prvotne supersimetrije nezlomljene. Natančneje, v odsotnosti tokov, kompaktifikacija na Calabi-Jaujevi 3-terosti (realna razsežnost 6) pusti eno četrtino prvotne supersimetrije nezlomljene, če je holonomija polna .
Bolj splošno, kompaktifikacija brez toka na -mnogoterosti s holonomijo pusti prvotne supersimetrije nezlomljene, kar ustreza supernabojem v kompaktifikaciji supergravitacije tipa IIA ali supernabojem v kompaktifikaciji tipa I. Ko so vključeni toki, pogoj supersimetrije namesto tega implicira, da je kompaktifikacijska mnogoterost posplošena Calabi-Jaujeva mnogoterost, pojem, ki ga je uvedel Nigel Hitchin leta 2003. Ti modeli so znani kot kompaktifikacije tokov.
Kompaktifikacije F-teorije na različnih Calabi-Jaujevih štiriterostih ponujajo fizikom metodo za iskanje velikega števila klasičnih rešitev v tako imenovani pokrajini teorije strun.