мини|Најмањи (и јединствени до на ротацију и рефлексију) нетривијални случај магичног квадрата, ред 3, магична сума 15
У математици, посебно историјској и рекреативној математици, магични квадрат је квадратни распоред бројева, обично позитивних целих бројева, где су суме бројева у сваком реду, свакој колони и на обе главне дијагонале исте. Ред магичног квадрата је број целих бројева дуж једне странице (n), а константни збир се назива магична константа или магична сума. Ако распоред укључује само позитивне целе бројеве , за магични квадрат се каже да је нормалан. Многи аутори под појмом магични квадрат подразумевају управо нормални магични квадрат.
Магични квадрати који укључују понављајуће уносе не потпадају под ову дефиницију и називају се тривијалним. Неки познати примери, укључујући магични квадрат Саграда Фамилије, тривијални су у овом смислу. Када се сви редови и колоне, али не и обе дијагонале, сабирају у магичну константу, добија се полумагични квадрат (понекад се назива и ортомагични квадрат).
Математичко проучавање магичних квадрата обично се бави њиховом конструкцијом, класификацијом и пребројавањем. Иако не постоје потпуно опште методе за стварање свих магичних квадрата свих редова, историјски су откривене три опште технике: оивичењем, прављењем сложених магичних квадрата и додавањем два прелиминарна квадрата. Постоје и специфичније стратегије, попут методе континуираног набрајања која репродукује одређене обрасце. Магични квадрати се генерално класификују према свом реду n као: непарни ако је n непарно, парно парни (који се такође називају „двоструко парни”) ако је n умножак броја 4, непарно парни (познати и као „једноструко парни”) ако је n било који други паран број. Ова класификација се заснива на различитим техникама потребним за конструисање непарних, парно парних и непарно парних квадрата. Поред тога, у зависности од даљих својстава, магични квадрати се такође класификују као асоцијативни магични квадрати, пандијагонални магични квадрати, најсавршенији магични квадрати и тако даље. Још изазовније, било је и покушаја да се сви магични квадрати датог реда класификују као трансформације мањег скупа квадрата. Осим за n ≤ 5, пребројавање магичних квадрата вишег реда и даље представља отворен изазов. Пребројавање најсавршенијих магичних квадрата било ког реда остварено је тек крајем 20. века.
Магични квадрати имају дугу историју, која датира барем од 190. године пре нове ере у Кини. У различитим временима добијали су окултни или митски значај и појављивали су се као симболи у уметничким делима. У модерно доба генерализовани су на више начина, укључујући коришћење додатних или другачијих ограничења, множење уместо сабирања ћелија, коришћење алтернативних облика или више од две димензије, као и замену бројева облицима, а сабирање геометријским операцијама. мини|На бакрорезу Меланхолија I (Албрехт Дирер, 1514) налази се квадрат реда 4 са магичном сумом 34 мини|alt=Магични квадрат реда 4, детаљ са Албрехт Дирерове Меланхолије I.|Магични квадрат реда 4, детаљ са бакрореза Меланхолија I.
Историја мини|десно|220px|Гвоздена плоча са магичним квадратом реда 6 са источноарапским бројевима из Кине, из периода династије Јуан (1271–1368). Магични квадрат трећег реда био је познат кинеским математичарима још 190. п. н. е., а експлицитно је дат у првом веку нове ере. Први инстанца магичног квадрата четвртог реда која се може датирати појавила се 550. године у Индији. Примерци магичних квадрата реда 3 до 9 појављују се у енциклопедији из Багдада (око 983), Енциклопедија Бреће чистоте (Расаил Ихван ал-Сафа). До краја 12. века, опште методе за конструкцију магичних квадрата биле су добро успостављене. Отприлике у то време, неки од ових квадрата су се све више користили у комбинацији са магичним словима, као у делу Шамс ал-Маариф, у окултне сврхе.Најпознатија арапска књига о магији, под називом "Шамс ал-Маариф" (), коју је написао Ахмед бин Али ал-Буни, који је умро око 1225 (622 АХ). Репринтано у Бејруту 1985. У Индији, све пандијагоналне магичне квадрате четвртог реда побројао је Нарајана 1356. године. Магични квадрати постали су познати Европи кроз преводе арапских извора као окултни објекти током ренесансе, а општа теорија је морала бити поново откривена независно од претходних достигнућа у Кини, Индији и на Блиском истоку. Такође су значајне древне културе са традицијом математике и нумерологије које нису откриле магичне квадрате: Грци, Вавилонци, Египћани и претколумбовски Американци.
Магични квадрати се такође појављују у уметности. На пример, магични квадрат се појављује на Албрехт Диреровој Меланхолији (види фотографију дела). Још један се појављује на слици Вилфреда Лама Белијал, цар мува, где се магични квадрат види у доњем левом квадранту слике.Veronica Simpson. (14. 9. 2016). The EY Exhibition: Wifredo Lam Studio International
Кина мини|десно|220px|Страница која приказује 9×9 магични квадрат из дела Ченг Давеја Суанфа тонгцунг (1593).
Иако се древне референце на образац парних и непарних бројева у 3×3 магичном квадрату појављују у књизи Ји Ђинг, први недвосмислени пример овог магичног квадрата појављује се у поглављу названом Мингтанг (Светла дворана) у књизи из 1. века Да Даи Лиђи (Записи о обредима Старијег Даија), која је наводно описивала древне кинеске обреде династије Џоу. Ови бројеви се такође јављају у вероватно ранијем математичком тексту под називом Шушу ђији (Мемоари о неким традицијама математичке уметности), за који се каже да је написан 190. п. н. е. Ово је најраније познато појављивање магичног квадрата; и углавном се користио за прорицање и астрологију. Магични квадрат 3×3 су ранији кинески математичари називали „Девет дворана”. Идентификација 3×3 магичног квадрата са легендарном Луошу мапом направљена је тек у 12. веку, након чега је назван Луошу квадрат. Најстарија сачувана кинеска расправа која приказује магичне квадрате реда већег од 3 је дело Јанг Хуеја Сјигу џећи суанфа (Наставак древних математичких метода за разјашњавање чудног) написано 1275. године. Садржај Јанг Хуејеве расправе прикупљен је из старијих радова, како домаћих тако и страних; и он само објашњава конструкцију магичних квадрата трећег и четвртог реда, док само преноси готове дијаграме већих квадрата. Он даје магични квадрат реда 3, два квадрата за сваки ред од 4 до 8, један реда девет и један полумагични квадрат реда 10. Такође даје шест магичних кругова различите сложености.
4 9 2 3 5 7 8 1 6
2 16 13 3 11 5 8 10 7 9 12 6 14 4 1 15
1 23 16 4 21 15 14 7 18 11 24 17 13 9 2 20 8 19 12 6 5 3 10 22 25
13 22 18 27 11 2031 4 36 9 29 2 12 21 14 23 16 25 30 3 5 32 34 717 26 10 19 15 24 8 35 28 1 6 33
46 8 16 20 29 7 493 40 35 36 18 41 244 12 33 23 19 38 6 28 26 11 25 39 24 225 37 31 27 17 13 45 48 9 15 14 32 10 47 1 43 34 30 21 42 4
61 3 2 64 57 7 6 60 12 54 55 9 16 50 51 13 20 46 47 17 24 42 43 21 37 27 26 40 33 31 30 3629 35 34 32 25 39 38 28 44 22 23 41 48 18 19 45 52 14 15 49 56 10 11 53 5 59 58 8 1 63 62 4
31 76 13 36 81 18 29 74 1122 40 58 27 45 63 20 38 5667 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 5235 80 17 28 73 10 33 78 1526 44 62 19 37 55 24 42 6071 8 53 64 1 46 69 6 51
Горе приказани магични квадрати реда 3 до 9 преузети су из Јанг Хуејеве расправе, у којој је принцип Луо Шу јасно евидентан. Квадрат реда 5 је оивичени магични квадрат, са централним 3×3 квадратом формираним према принципу Луо Шу. Квадрат реда 9 је сложени магични квадрат, у којем су и девет 3×3 подквадрата такође магични. Након Јанг Хуеја, магични квадрати се често јављају у кинеској математици као што је то случај у делу Динг Јидонга Дајан суојин (око 1300), Ченг Давејевој Суанфа тонгцунг (1593), Фанг Џонгтонговој Шудујан (1661) која садржи магичне кругове, коцке и сфере, делу Џанг Чаоа Сјинџај зазу (око 1650), који је објавио први кинески магични квадрат реда десет, и на крају Бао Ћишоуовој Бинаишанфанг ђи (око 1880), који је дао различите тродимензионалне магичне конфигурације. Ипак, упркос томе што су први открили магичне квадрате и имали предност од неколико векова, кинески развој магичних квадрата је много инфериорнији у поређењу са индијским, блискоисточним или европским развојем. Чини се да је врхунац кинеске математике који се бави магичним квадратима садржан у делу Јанг Хуеја; али чак и као збирка старијих метода, ово дело је много примитивније, лишено општих метода за конструисање магичних квадрата било ког реда, у поређењу са сличном збирком коју је отприлике у исто време написао византијски учењак Манојло Мосхопулос. Ово је вероватно због опчињености кинеских учењака принципом Луо Шу, који су покушали да прилагоде за решавање виших квадрата; и након Јанг Хуеја и пада династије Јуан, њиховог систематског чишћења страних утицаја у кинеској математици.
Јапан Јапан и Кина имају сличне математичке традиције и више пута су утицали једни на друге током историје развоја магичних квадрата.The Influence of Chinese Mathematical Arts on Seki Kowa by Shigeru Jochi, MA, School of Oriental and African Studies, University of London, 1993 Јапанско интересовање за магичне квадрате почело је након ширења кинеских дела — Јанг Хуејеве Суанфе и Ченг Давејеве Суанфа тонгцунг — у 17. веку, и као резултат тога, скоро сви васани (стручњаци за јапанску математику) посветили су своје време проучавању магичних квадрата.
У издању Кецуги-шо из 1660. године, Исомура Китоку дао је и непарне и парне оивичене магичне квадрате, као и магичне кругове; док је издање исте књиге из 1684. године садржало велики одељак о магичним квадратима, показујући да је имао општи метод за конструкцију оивичених магичних квадрата. У делу Ђинко-ки (1665) Мурамацу Кудају Мосеија, приказани су и магични квадрати и магични кругови. Највећи квадрат који је Мосеи конструисао био је 19. реда. Различите магичне квадрате и магичне кругове такође су објавили Нозава Теичо у Докаи-шо (1666), Сато Сеико у Конгенки (1666), и Хосино Саненобу у Ко-ко-ген Шо (1673). Једна од Седам књига (Хођин Јенсан) (1683) аутора Секи Такаказуа у потпуности је посвећена магичним квадратима и круговима. Ово је прва јапанска књига која даје општи третман магичних квадрата у којој су јасно описани алгоритми за конструисање непарних, једноструко парних и двоструко парних оивичених магичних квадрата. Године 1694. и 1695., Јуеки Андо дао је различите методе за стварање магичних квадрата и приказао квадрате реда 3 до 30. Магичну коцку четвртог реда конструисао је Јошизане Танака (1651–1719) у делу Ракушо-кикан (1683). Проучавање магичних квадрата наставили су Секијеви ученици, нарочито Катахиро Такебе, чији су квадрати приказани у четвртом тому Ичиген Капо од Шукеи Ириеа, Јошисуке Мацунага у Хођин-Шин-јуцу, Јошихиро Курушима у Кјуши Ико који је поново открио методу за производњу непарних квадрата коју је дао Агрипа, и Наонобу Ађима. Тако су до почетка 18. века јапански математичари поседовали методе за конструкцију магичних квадрата произвољног реда. Након тога, покушаје пребројавања магичних квадрата покренуо је Нушизуми Јамађи.
Индија мини|десно|220px|Магични квадрат 3×3 у различитим оријентацијама формира не-нормални 6×6 магични квадрат, из неидентификованог индијског рукописа из 19. века. Магични квадрат 3×3 први пут се појављује у Индији у делу Гаргасамхита од Гарге, који препоручује његову употребу за умиривање девет планета (наваграха). Најстарија верзија овог текста потиче из 100. године, али пасус о планетама није могао бити написан пре 400. године. Први пример магичног квадрата 3×3 у Индији који се може датирати јавља се у медицинском тексту Сидајог (око 966.) од Врнде, који се прописивао женама при порођају како би имале лакши порођај.