десно|мини|Шематски приказ три објекта и три морфизма категорије, који формирају комутативни дијаграм

Теорија категорија је општа теорија математичких структура и њихових односа. Увели су је Самјуел Ајленберг и Сондерс Маклејн средином 20. века у свом темељном раду о алгебарској топологији. Теорија категорија се може користити у већини области математике. Посебно, многе конструкције нових математичких објеката из претходних, које се слично појављују у више контекста, погодно су изражене и обједињене у терминима категорија. Примери укључују количничке просторе, директне производе, комплетирање и дуалност.

Многе области рачунарства се такође ослањају на теорију категорија, као што су функционално програмирање и семантика.

Категорију чине две врсте објеката: објекти категорије и морфизми, који повезују два објекта названа извор и циљ морфизма. Морфизам се често представља стрелицом од његовог извора до његовог циља (види слику). Морфизми се могу компоновати ако је циљ првог морфизма једнак извору другог. Композиција морфизама има слична својства као композиција функција (асоцијативност и постојање идентичног морфизма за сваки објекат). Морфизми су често нека врста функција, али то није увек случај. На пример, моноид се може посматрати као категорија са једним објектом, чији су морфизми елементи моноида.

Други фундаментални концепт теорије категорија је концепт функтора, који игра улогу морфизма између две категорије и : он пресликава објекте из у објекте из и морфизме из у морфизме из на такав начин да се извори пресликавају у изворе, а циљеви у циљеве (или, у случају контраваријантног функтора, извори се пресликавају у циљеве и обрнуто). Трећи фундаментални концепт је природна трансформација која се може посматрати као морфизам функтора.

Категорије, објекти и морфизми

Категорије Категорија се састоји од следећа три математичка ентитета: Класе , чији се елементи називају објектима; Класе , чији се елементи називају морфизмима, пресликавањима или стрелицама. Сваки морфизам има изворни објекат и циљни објекат .Израз би се вербално исказао као „ је морфизам од до ”.Израз – алтернативно изражен као , или – означава hom-класу свих морфизама од до . Бинарне операције , која се назива композиција морфизама, такве да за свака три објекта , и , имамо Композиција морфизама и се записује као или , и подлеже следећим аксиомима: Асоцијативност: Ако су , и , тада је Идентитет: За сваки објекат , постоји морфизам (такође означен као ) који се назива идентични морфизам за , такав да за сваки морфизам важи Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентични морфизам за сваки објекат.

Пример Прототипичан пример категорије је Set, категорија скупова и функција између њих. Објекти категорије Set су једноставно скупови, а морфизам од скупа до скупа је функција . Аксиоми категорије су задовољени јер сваки скуп има идентичну функцију и зато што је композиција функција асоцијативна.

Морфизми Односи међу морфизмима (као што је ) често се приказују помоћу комутативних дијаграма, при чему „тачке” (углови) представљају објекте, а „стрелице” представљају морфизме.

Морфизми могу имати било које од следећих својстава. Морфизам је: мономорфизам (или моник) ако имплицира за све морфизме . епиморфизам (или епик) ако имплицира за све морфизме . биморфизам ако је f истовремено епик и моник. изоморфизам ако постоји морфизам такав да важи . ендоморфизам ако је . end(a) означава класу ендоморфизама од a. аутоморфизам ако је f истовремено ендоморфизам и изоморфизам. aut(a) означава класу аутоморфизама од a. ретракција ако постоји десни инверз од f, тј. ако постоји морфизам са . пресек (секција) ако постоји леви инверз од f, тј. ако постоји морфизам са .

Свака ретракција је епиморфизам, а сваки пресек је мономорфизам. Штавише, следећа три исказа су еквивалентна: f је мономорфизам и ретракција; f је епиморфизам и пресек; f је изоморфизам.

Функтори

Функтори су пресликавања која чувају структуру између категорија. Они се могу посматрати као морфизми у категорији свих (малих) категорија.

(Коваријантни) функтор F из категорије C у категорију D, записан као , састоји се од: за сваки објекат x у C, објекта F(x) у D; и за сваки морфизам у C, морфизма у D,

тако да важе следећа два својства: За сваки објекат x у C, ; За све морфизме и , .

Контраваријантни функтор је сличан коваријантном функтору, осим што „окреће морфизме” (тј. „окреће све стрелице”). Прецизније, сваки морфизам у C мора бити додељен морфизму у D. Другим речима, контраваријантни функтор делује као коваријантни функтор из супротне категорије Cop у D.

Природне трансформације

Природна трансформација је однос између два функтора. Функтори често описују „природне конструкције”, а природне трансформације затим описују „природне хомоморфизме” између две такве конструкције. Понекад две сасвим различите конструкције дају „исти” резултат; то се изражава природним изоморфизмом између та два функтора.

Ако су F и G (коваријантни) функтори између категорија C и D, онда природна трансформација η од F до G придружује сваком објекту X у C морфизам у D тако да за сваки морфизам у C имамо ; ово значи да је следећи дијаграм комутативан:

центар|Комутативни дијаграм који дефинише природне трансформације|безоквира

Два функтора F и G називају се природно изоморфним ако постоји природна трансформација од F до G таква да је ηX изоморфизам за сваки објекат X у C.

Остали концепти

Универзалне конструкције, лимеси и колимеси

Коришћењем језика теорије категорија могу се категорисати многе области математичких проучавања. Категорије укључују скупове, групе и топологије.

Свака категорија се одликује својствима која су заједничка свим њеним објектима, као што су празан скуп или топологија производа, ипак у дефиницији категорије објекти се сматрају атомичним, тј. ми не знамо да ли је објекат A скуп, топологија или неки други апстрактни концепт. Стога, изазов је дефинисати посебне објекте без позивања на унутрашњу структуру тих објеката. Да би се празан скуп дефинисао без позивања на елементе, или топологија производа без позивања на отворене скупове, ови објекти се могу карактерисати у смислу њихових односа са другим објектима, као што је дато морфизмима одговарајућих категорија. Дакле, задатак је пронаћи универзална својства која јединствено одређују објекте од интереса.

Бројне важне конструкције могу се описати на чисто категорички начин ако се развије лимес категорије и дуализује како би се добио појам колимеса.

Еквивалентне категорије

Природно је питање: под којим условима се две категорије могу сматрати суштински истим, у смислу да се теореме о једној категорији могу лако трансформисати у теореме о другој категорији? Главни алат који се користи за описивање такве ситуације назива се еквиваленција категорија, која је дата одговарајућим функторима између две категорије. Категоричка еквиваленција нашла је бројне примене у математици.

Даљи концепти и резултати Дефиниције категорија и функтора пружају само саму основу категоричке алгебре; додатне важне теме су наведене у наставку. Иако постоје снажне међусобне везе између свих ових тема, дати редослед се може сматрати смерницом за даље читање. Категорија функтора DC има као објекте функторе из C у D, а као морфизме природне трансформације таквих функтора. Јонедина лема је један од најпознатијих основних резултата теорије категорија; она описује репрезентабилне функторе у категоријама функтора. Дуалност: Сваки исказ, теорема или дефиниција у теорији категорија има свој дуал који се у суштини добија „обртањем свих стрелица”. Ако је један исказ тачан у категорији C, онда је његов дуал тачан у супротној категорији Cop. Ова дуалност, која је очигледна на нивоу теорије категорија, често је замагљена у применама и може довести до изненађујућих веза. Адјунговани функтори: Функтор може бити лево (или десно) адјунгован другом функтору који пресликава у супротном смеру. Такав пар адјунгованих функтора обично произилази из конструкције дефинисане универзалним својством; ово се може посматрати као апстрактнији и моћнији поглед на универзална својства.

Вишедимензионалне категорије

Многи од горе наведених концепата, посебно еквиваленција категорија, парови адјунгованих функтора и категорије функтора, могу се сместити у контекст вишедимензионалних категорија. Укратко, ако посматрамо морфизам између два објекта као „процес који нас води од једног објекта до другог”, онда нам вишедимензионалне категорије омогућавају да ово корисно генерализујемо разматрањем „вишедимензионалних процеса”.

На пример, (строга) 2-категорија је категорија заједно са „морфизмима између морфизама”, тј. процесима који нам омогућавају да трансформишемо један морфизам у други. Затим можемо да „компонујемо” ове „биморфизме” и хоризонтално и вертикално, и захтевамо да важи 2-димензионални „закон размене” који повезује два закона композиције. У овом контексту, стандардни пример је Cat, 2-категорија свих (малих) категорија, а у овом примеру биморфизми морфизама су једноставно природне трансформације морфизама у уобичајеном смислу. Други основни пример је разматрање 2-категорије са једним објектом; то су суштински моноидалне категорије. Бикатегорије су слабији појам 2-димензионалних категорија у којима композиција морфизама није строго асоцијативна, већ је асоцијативна само „до на” изоморфизам.

Овај процес се може проширити за све природне бројеве n, и оне се називају n-категоријама. Постоји чак и појам ω-категорије који одговара редном броју ω.

Вишедимензионалне категорије су део ширег математичког поља вишедимензионалне алгебре, концепта који је увео Роналд Браун.

Историјске напомене

Иако су специфичне примере функтора и природних трансформација дали Самјуел Ајленберг и Сондерс Маклејн у раду о теорији група из 1942. године, ови концепти су уведени у општијем смислу, заједно са додатним појмом категорија, у раду истих аутора из 1945. године (који су расправљали о примени теорије категорија у области алгебарске топологије). Њихов рад је био важан део преласка са интуитивне и геометријске хомологије на хомолошку алгебру. Ајленберг и Маклејн су касније написали да им је циљ био да разумеју природне трансформације, што је прво захтевало дефинисање функтора, а затим категорија.

Станислав Улам, и неки који су писали у његово име, тврдили су да су сродне идеје биле актуелне крајем 1930-их у Пољској. Ајленберг је био Пољак и студирао је математику у Пољској 1930-их. Теорија категорија је такође, у неком смислу, наставак рада Еми Нетер (једне од Маклејнових професорки) у формализацији апстрактних процеса; Нетерова је схватила да разумевање врсте математичке структуре захтева разумевање процеса који ту структуру чувају (хомоморфизми). Ајленберг и Маклејн су увели категорије за разумевање и формализацију процеса (функтора) који повезују тополошке структуре са алгебарским структурама (тополошким инваријантама) које их карактеришу.

Теорија категорија је првобитно уведена за потребе хомолошке алгебре и широко је проширена за потребе модерне алгебарске геометрије (теорија шема). Теорија категорија се може посматрати као проширење универзалне алгебре, будући да ова друга проучава алгебарске структуре, док се прва примењује на било коју врсту математичких структура и такође проучава односе између структура различите природе. Из тог разлога се користи широм математике. Примене у математичкој логици и семантици (категоричка апстрактна машина) дошле су касније.

Одређене категорије које се називају елементарни топоси (или топои) могу чак послужити као модели конструктивне математике. Теорија топоса је проучавала елементарне топосе, са посебним фокусом на важну поткласу Гротендикових топоса, који имају геометријско порекло, будући да су категорије снопова. Гротендикови топоси су такође снажно повезани са топологијом без тачака.