Инверзија у односу на круг представља трансформацију која чува углове и слика уопштени круг у уопштени круг. Под уопштеним кругом подразумевамо круг или праву (круг чији је пречник бесконачан). Многи проблеми у геометрији су упрошћени увођењем појма уопштеног круга. Појам инверзије може бити примењен и на бесконачнодимензионе просторе.
Нека је произвољан круг равни , затим нека је исти тај круг без тачке . Инверзијом у односу на круг називамо трансформацију
која сваку тачку преводи у тачку такву да је
Тачка је центар круга , односно средиште инверзије, дуж је полупречник, а круг називамо кругом инверзије .
Како се тачка приближава центру круга , њен инверз у односу на круг, односно тачка , тежи бесконачности. Слика тачке није дефинисана, нити се нека тачка слика у тачку .Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 201.
Тачке на кружници се сликају у саме себе. Тачке унутар круга сликају се у тачке изван круга, и обрнуто.
Инверзија у односу на круг је бијективна трансформација.
Конструкција лењиром и шестаром
За тачку изван круга десно|мини|220p|оквир|Конструкција слике тачке при инверзији у односу на круг . Конструкција слике тачке при инверзији у односу на круг : Конструсати дуж , где је центар круга . Конструисати круг над пречником . Нека су и пресечне тачке кругова и . Тачка ће бити пресек дужи и .
За тачку унутар круга десно|мини|220p|оквир|Конструкција слике тачке при инверзији у односу на круг . Конструкција инверза тачке унутар круга инверзије : Конструисати праву која садржи тачке (центар круга ) и . Конструсати нормалу из тачке на праву . Нека је једна од тачака пресека круга и праве . Конструисати праву која садржи тачку и нормална је на праву . Тачка ће бити пресек правих и .
Конструкција инверза круга Ако круг не сече круг инверзије : Конструисати праву тако да садржи центре кругова и . Нека су и пресечне тачке те праве и круга . Конструисати тачке и , слике тачака и при инверзији у односу на круг . Конструисати круг над пречником . Тај круг је слика круга при инверзији у односу на круг .
Ако круг сече круг инверзије : Нека су пресечне тачке кругова и тачке и . Конструисати праву тако да садржи центре кругова и . Нека је једна од пресечних тачака те праве и круга тачка . Конструисати тачку , слику тачке при инверзији у односу на круг . Круг , слика круга при инверзији у односу на круг , је круг описан око троугла .
Основне особине Инверзија у односу на круг је инволутивна трансформација.Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 202. Ако је слика тачке при инверзији у односу на круг тачка , то значи да ће слика тачке при инверзији у односу на круг бити тачка . Нека тачка је инваријантна при инверзији ако и само ако . Дакле, све тачке које припадају кружници , ће се сликати у саме себе. При инверзији тачки која се налази унутар круга одговара тачка која се налази изван круга , и обрнуто. Композиција двеју инверзија и које су дефинисане у односу на концентричне кругове и је хомотетија . Слика круга који садржи тачку , при инверзији у односу на круг , је права која не садржи . Права је паралелна тангенти круга у тачки . Слика круга који не садржи тачку је круг који такође не садржи . Ако круг сече круг , тачке пресека ће припадати и кругу (јер су тачке на кружници инваријанте).Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston; pp. 265.Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 203. Слика праве која садржи тачку је иста та права, без тачке . Слика праве која не садржи тачку је круг који не садржи тачку .
Остале особине:
Ортогонални кругови при инверзији у односу на круг
Два круга су ортогонална ако и само ако су им тангенте у пресечним тачкама ортогоналне. Инверзија у односу на круг пресликава неки круг у њега самог ако и само ако се кругови и поклапају или су ортогонални. Тачке пресека два круга и који су ортогонални на круг су међусобно инверзне у односу на круг .
Углови при инверзији у односу на круг Инверзија у односу на круг не мења углове, али мења оријентацију углова.Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston. стр. 269. За неки троугао , где је центар круга и где су тачке и слике тачака и при инверзији у односу на круг важи:
Угао под којем се секу две линије и у пресечној тачки , једнак је углу под којем се секу слике линија и при инверзији у односу на круг , линије и , у одговарајућој тачки .Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 204.
Примена Било која два круга која се не секу, могу се инверзијом пресликати у концентричне кругове. Инверзно растојање представља природни логаритам односа пречника та два концентрична круга.
Инверзија у тродимензионом простору десно|мини|220p|оквир|Тродимензиона илустрација стереографске пројекције са северног пола на раван испод сфере. У тродимензионом простору, могуће је уопштити инверзију у односу на круг до инверзије у односу на сферу. Слика тачке при инверзији у односу на сферу са средиштем у тачки и пречником је тачка таква да: .
Тачке и су на истој полуправој, са почетком у тачки . При оваквој инверзији, слика сфере је сфера, осим у случају када сфера коју инвертујемо садржи тачку . Тада је слика сфере раван.
Даље, свака раван која не садржи тачку се слика у сферу, док се раван која садржи тачку слика у исту ту раван, али која не садржи у тачку .
Стереографска пројекција је посебан подслучај инверзије у односу на сферу која слика сферу на раван.
Литература
Д. Лопандић, Геометрија, Завод за уџбенике, Београд, 2011.
Референце
Спољашње везе "Inversion" на сајту MathWorld
Wilson's Inversive Geometry
Симулација инверзије око круга на сајту cut-the-knot.org
Категорија:Еуклидска геометрија