десно|оквир|Геометријска интерпретација Ролове теореме: Ако функција задовољава услове теореме (непрекидна на интервалу -{[a, b]}-, и диференцијабилна на интервалу -{(a, b)}-), тада постоји тачка -{c}-, у интервалу -{(a, b)}-, таква да је тангента функције у тој тачки водоравна. У анализи, грани математике, Ролова теорема тврди да ако је -{f}- реална функција, непрекидна на затвореном интервалу -{[a, b]}-, диференцијабилна на отвореном интервалу -{(a, b)}-, и ако је -{f(a) = f(b)}-, тада постоји тачка -{c}- из отвореног интервала -{(a, b)}-, таква да је -{f′(c) = 0}-.
Доказ Нека је -{f(a) = f(b)}-. Како је функција -{f(x)}- непрекидна на одсечку -{[a, b]}-, то она на том одсечку достиже бар једанпут своју највећу вредност -{М}- и своју најмању вредност -{m}-. Ако је -{M = m}-, тада је функција константна на посматраном интервалу, па је њен извод свуда једнак нули на посматраном интервалу. Ако је -{М}- различито од -{m}-, бар један од тих бројева је различит -{f(a)}-. Нека је, без смањења општости, -{М}- различит од -{f(a)}-. Дакле, функција има локални екстремум у некој тачки -{c}-, па је, на основу Фермаове теореме, -{f′(c) = 0}-. Овим је теорема доказана.
Референце
Категорија:Математичке теореме Категорија:Докази Категорија:Математичка анализа Категорија:Реална анализа