мини|десно|250п|Правоугаоник. Странице су му -{a}- и -{b}-, дијагонала је означена са -{d}-, а темена су му -{A}-, -{B}-, -{C}- и -{D}-
Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са -{a}- на слици десно) и његовом дужином (означено са -{b}- на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.Oblong – Geometry – Math Dictionary . Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).
Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.
Карактеризације
Конвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег: . паралелограм са најмање једним правим углом паралелограм са дијагоналама једнаке дужине паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни једнакоугаони четвороугао четвороугао са четири права угла четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на полаGerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина . конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина
Формуле Површина правоугаоника је -{P = ab}- Обим правоугаоника је -{O = 2(a+b)}- Полуобим правоугаоника је -{S = (a+b)}- Углови између страница и дијагонала: -{φ1 = arctg(b/a)}- и -{φ1 = arctg(a/b)}-; φ1 + φ2 = π/2. Углови између дијагонала Θ1 = π - 2φ1 и Θ2 = π - 2φ2; Θ1 + Θ2 = π r (полупречник описане кружнице) : r =
Дијагонала правоугаоника Дијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:
Конструкције правоугаоника Две странице Дате су дужине страница -{a}- и -{b}-. Једно решење: Конструисати дуж -{AB}- дужине -{a}-. У тачки -{A}-, нормално на -{AB}-, конструисати дуж -{AD}- дужине -{b}-. Повући дуж -{DB}-. Симетрала тачке -{A}- у односу на средиште -{DB}- ће бити -{C}-.
Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж -{BC}-, дужине -{a}- и нормална на -{AC}-, тако да угао -{ABC}- буде математички негативно оријентисан.
Страница и угао између ње и дијагонале Претпоставимо да су дати страница -{AB}- и угао α. Конструисати дуж -{AB}- Из тачке -{A}- конструисати полуправу -{s}- која са -{AB}- заклапа угао α, тако да је угао -{BAs}- позитивно оријентисан. Из тачке -{B}- конструисати нормалу -{н}- на -{AB}-. Пресек -{n}- и -{s}- обележити као -{C}-. У -{A}- конструисати полуправу -{n1}- нормалну на -{AB}-, тако да је угао -{ABn1}- позитивно оријентисан У -{A}- конструисати круг -{k}- полупречника -{BC}-. Пресек -{n1}- и -{k}-је -{D}-.
Уколико су дати страница -{AB}- и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.
Страница и дијагонала Ако су дате странца, на пример -{AB}-, и дужина дијагонале правоугаоника -{d}-, конструкција има следећи ток: Конструисати дуж дужине -{d}- и назвати јој темена -{A}- и -{C}-. Конструисати круг -{k1}- који за пречник има дуж -{AC}-. У тачки -{A}- конструисати круг -{k2}- полупречника -{AB}-. Круг -{k2}- ће сећи -{k1}- у две тачке. Једна од ове две треба да добије име -{B}- тако да је угао -{ABC}- негативно математички оријентисан Од -{B}- треба повући полуправу кроз средиште -{AC}-. Пресек ове полуправе са кругом -{k1}- ће бити тачка -{D}-.
Остали правоугаоници thumb|Седласти правоугаоник има 4 непланарна врха, наизменично од врхова квадра, са јединственом минималном унутрашњошћу површине дефинисаном као линеарна комбинација четири темена, стварајући површину седла. Овај пример приказује 4 плаве ивице правоугаоника и две зелене дијагонале, а све су дијагонале кубоидних правоугаоних лица.
У сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.
У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.
У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.
Теселације
Правоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:
182pxНаслагана веза150pxТекућа веза150pxПлетена кошара150pxПлетена кошара150pxПатерн рибље кости
Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници thumb|right|Савршен правоугаоник реда 9
За правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.squaring.net Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9, а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.
Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата. Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.
Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.
Јуникод U+25AC ▬ Црни правугаоник U+25AD ▭ Бели правугаоник U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник
Референце
Литература
<
Спољашње везе
Definition and properties of a rectangle with interactive animation. Area of a rectangle with interactive animation.
Категорија:Четвороуглови Категорија:Елементарни облици