У теорији вероватноће и статистици, Бернулијева расподела, названа по швајцарском математичару Јакобу Бернулију, James Victor Uspensky: , McGraw-Hill, New York је дискретна расподела вероватноће случајне променљиве која узима вредност 1 са вероватноћом а вредност 0 са вероватноћом . Мање формално, може се сматрати моделом за скуп могућих исхода било ког појединачног експеримента који поставља питање да-не. Таква питања довести до исхода који су Булови резултати: један бит чија је вредност успех / да / истина / један од вероватноћа p и неуспех / не / лажно / нула са вероватноћа К. Може се користити за представљање (могуће пристрасног) бацања новчића где би 1 и 0 представљали „главе“ и „писма“ (или обрнуто), а p би представљало вероватноћу да ће новчић пасти на главу или реп.
Бернулијева расподела је посебан случај биномне дистрибуције где се спроводи једно испитивање (тако да би n било 1 за такву биномну дистрибуцију). То је такође посебан случај дистрибуције у две тачке, за коју могући исходи не морају бити 0 и 1.
Својства Ако је случајна променљива са овом расподелом, онда је:
Функција масе вероватноће функције ове расподеле, преко могућих исхода к, је
Такође се може изразити као:
или се може изразити као:
Бернулијева расподела је посебан случај биномске расподеле са
Куртозис иде у бесконачност за високе и ниске вредности параметра али за параметар расподела у две тачке укључујући Бернулијеву расподелу има нижи вишак ексцеса од било које друге расподеле вероватноће, тј. −2.
Бернулијева расподела за формира експоненцијалну породицу .
Процена максималне вероватноће за параметар на основу случајно одабраног узорка је средња вредност узорка .
Значење Очекивана вредност Бернулијеве случајно одабране променљиве је
Ово знамо због чињенице да је за Бернулијеву расподељену случајну променљиву са и налазимо:
Променљивост Расподела варијансе Бернулија је:
Прво можемо наћи:о
Из овога се да уследити:
Са овим резултатом лако је доказати да ће за било коју Бернулијеву расподелу њена варијанса имати вредност у простирању .
Искривљеност (Skewness) Искривљеност представља . Када усвојимо стандардизовану Бернулијеву расподељену случајну променљиву налазимо да ова случајна променљива достиже са вероватноћом и постиже са вероватноћом . Тако можемо да добијемо
Виши моменти и кумуланти Сви сирови(нобрађени) моменти су једнаки због чињенице да је и .
Централни тренутак реда даје следећу једначину:
Првих шест централних момената су следећи:
Док виши централни моменти могу се компактније изразити у терминима и , што је приказано испод:
Првих шест кумуланата су следећи:
Повезане расподеле
Ако су независне, идентично распоређене ( i.i.d. ) случајне променљиве, сва Бернулијева испитивања са вероватноћом успеха p, онда се њихов збир распоређује према биномној расподели са параметрима n и p : ( биномна расподела).
Бернулијева расподела је једноставна , такође написана као функција:
Категоријска расподела је генерализација Бернулијеве расподеле за променљиве са било којим константним бројем дискретних вредности. Бета дистрибуција је коњуговани претходник Бернулијеве расподеле. Геометријска дистрибуција моделира број независних и идентичних Бернулијевих покушаја потребних за постизање једног успеха. Ако , онда има Радемахерову дистрибуцију .
Види још
Бернулијев процес, случајни процес који се састоји од низа независних Бернулијевих испитивања Бернулијево узорковање Бинарна ентропијска функција Бинарни дијаграм одлучивања
Додатна литература
Спољашње везе
. Интерактивна графика: Једноваријантни односи дистрибуције .
Категорија:Фамилија експоненцијалних расподела Категорија:Дискретне расподеле