thumb|Скаларни производ два вектора тангентна на сферу која се налази унутар 3-димензионалног еуклидског простора садржи информације о дужинама и угловима између вектора. Скаларни производи на свакој тангентној равни, спаковани заједно у један математички објекат, чине Риманову метрику.
У диференцијалној геометрији, Риманова многострукост (или Риманов простор) је геометријски простор (многострукост) на којем су дефинисани многи геометријски појмови као што су растојање, углови, дужина, запремина и кривина. Еуклидски простор, -сфера, хиперболички простор и глатке површи у тродимензионалном простору, као што су елипсоиди и параболоиди, примери су Риманових многострукости. Риманове многострукости су добиле име по немачком математичару Бернхарду Риману, који их је први пут конципирао 1854. године.
Формално, Риманова метрика (или само метрика) на глаткој многострукости је гладак избор скаларног производа за сваки тангентни простор многострукости. Риманова многострукост је глатка многострукост заједно са Римановом метриком. Технике диференцијалног и интегралног рачуна користе се за извлачење геометријских података из Риманове метрике. На пример, интеграција доводи до функције Римановог растојања, док се диференцирање користи за дефинисање кривине и паралелног транспорта.
Свака глатка површ у тродимензионалном еуклидском простору је Риманова многострукост са Римановом метриком која потиче од начина на који је она смештена у амбијенталном простору. Исто важи и за сваку подмногострукост еуклидског простора било које димензије. Иако је Џон Неш доказао да свака Риманова многострукост настаје као подмногострукост еуклидског простора, и иако су неке Риманове многострукости природно представљене или дефинисане на тај начин, идеја Риманове многострукости наглашава унутрашњу (интринсичну) тачку гледишта, која дефинише геометријске појмове директно на апстрактном простору без позивања на амбијентални простор. У многим случајевима, као што су хиперболички простор и пројективни простор, Риманове метрике се природније дефинишу или конструишу коришћењем унутрашње тачке гледишта. Поред тога, многе метрике на Лијевим групама и хомогеним просторима дефинисане су интринсично коришћењем дејстава група за транспорт скаларног производа са једног тангентног простора на целу многострукост, а многе специјалне метрике, као што су метрике константне скаларне кривине и Келер-Ајнштајнове метрике, конструишу се интринсично коришћењем алата из парцијалних диференцијалних једначина.
Риманова геометрија, студија Риманових многострукости, има дубоке везе са другим областима математике, укључујући геометријску топологију, комплексну геометрију и алгебарску геометрију. Примене обухватају физику (посебно општу теорију релативности и теорију баждарења), рачунарску графику, машинско учење и картографију. Генерализације Риманових многострукости укључују псеудо-Риманове многострукости, Финслерове многострукости и суб-Риманове многострукости.
Историја
right|thumb|Риманове многострукости је први конципирао њихов имењак, немачки математичар Бернхард Риман.
Године 1827. Карл Фридрих Гаус је открио да Гаусова кривина површи уграђене у тродимензионални простор зависи само од локалних мерења извршених унутар површи (прва основна форма). Овај резултат је познат као Theorema Egregium („изузетна теорема” на латинском).
Пресликавање које чува локална мерења површи назива се локална изометрија. Својство површи назива се унутрашњим својством ако је очувано локалним изометријама, а спољашњим својством ако није. Овим језиком, Theorema Egregium каже да је Гаусова кривина унутрашње својство површи.
Риманове многострукости и њихову кривину први је неригорозно увео Бернхард Риман 1854. године. Међутим, оне нису биле формализоване све до много касније. Заправо, примитивнији концепт глатке многострукости је први пут експлицитно дефинисан тек 1913. године у књизи коју је написао Херман Вајл.
Ели Картан је увео Картанову конексију, један од првих концепата конексије. Леви-Чивита је дефинисао Леви-Чивита конексију, специјалну конексију на Римановој многострукости.
Алберт Ајнштајн је користио теорију псеудо-Риманових многострукости (генерализацију Риманових многострукости) да развије општу теорију релативности. Конкретно, Ајнштајнове једначине поља су ограничења на кривину простор-времена, које је 4-димензионална псеудо-Риманова многострукост.
Дефиниција
Риманове метрике и Риманове многострукости thumb|Тангентна раван сфере са два вектора у њој. Риманова метрика омогућава узимање скаларног производа ових вектора.
Нека је глатка многострукост. За сваку тачку , постоји придружени векторски простор који се назива тангентни простор многострукости у тачки . Вектори у се сматрају векторима тангентним на у .
Међутим, није опремљен скаларним производом, „мерним штапом” који даје тангентним векторима концепт дужине и угла. Ово је важан недостатак јер математичка анализа учи да се за израчунавање дужине криве мора дефинисати дужина вектора тангентних на криву. Риманова метрика поставља такав „мерни штап” на сваки тангентни простор.
Риманова метрика на додељује сваком позитивно дефинитну симетричну билинеарну форму (тј. скаларни производ) на гладак начин (видети одељак о регуларности испод). Ово индукује норму дефинисану са . Глатка многострукост опремљена Римановом метриком је Риманова многострукост, означена са . Риманова метрика је специјалан случај метричког тензора.
Риманову метрику не треба мешати са функцијом растојања метричког простора, која се такође назива метрика.
Риманова метрика у координатама Ако су глатке локалне координате на , вектори
чине базу векторског простора за свако . У односу на ову базу, могу се дефинисати компоненте Риманове метрике у свакој тачки као . Ових функција могу се спојити у функцију са вредностима у матрицама на . Захтев да је позитивно дефинитан скаларни производ тада тачно каже да је ова матрична функција симетрична позитивно дефинитна матрица у .
У терминима тензорске алгебре, Риманова метрика се може записати преко дуалне базе котангентног раслојавања као
Регуларност Риманове метрике Риманова метрика је непрекидна ако су њене компоненте непрекидне у било којој глаткој координатној карти Риманова метрика је глатка ако су њене компоненте глатке у било којој глаткој координатној карти. Могу се разматрати многи други типови Риманових метрика у овом духу, као што су Липшицове Риманове метрике или мерљиве Риманове метрике.
Постоје ситуације у геометријској анализи у којима се желе разматрати неглатке Риманове метрике. Видети на пример (Gromov 1999) и (Shi and Tam 2002). Међутим, у овом чланку се претпоставља да је глатка метрика осим ако није другачије наведено.
Музички изоморфизам
Аналогно томе како скаларни производ на векторском простору индукује изоморфизам између векторског простора и његовог дуала дат са , Риманова метрика индукује изоморфизам раслојавања између тангентног раслојавања и котангентног раслојавања. Наиме, ако је Риманова метрика, тада је
изоморфизам глатких векторских раслојавања од тангентног раслојавања до котангентног раслојавања .
Изометрије Изометрија је функција између Риманових многострукости која чува сву структуру Риманових многострукости. Ако две Риманове многострукости имају изометрију између себе, називају се изометричним, и сматрају се истом многострукошћу за потребе Риманове геометрије.
Конкретно, ако су и две Риманове многострукости, дифеоморфизам се назива изометрија ако је , то јест, ако је
за свако и На пример, транслације и ротације су изометрије еуклидског простора (који ће ускоро бити дефинисан) у самог себе.
Каже се да је глатко пресликавање за које се не претпоставља да је дифеоморфизам, локална изометрија ако свако има отворену околину такву да је изометрија (и самим тим дифеоморфизам).
Запремина Оријентисана -димензионална Риманова многострукост има јединствену -форму која се назива Риманова форма запремине. Риманова форма запремине је очувана изометријама које чувају оријентацију. Форма запремине даје меру на која омогућава интеграцију мерљивих функција. Ако је компактна, запремина многострукости је .
Примери Еуклидски простор
Нека означавају стандардне координате на (Канонска) еуклидска метрика дата је са
или еквивалентно
или еквивалентно преко својих координатних функција где је Кронекерова делта које заједно чине матрицу
Риманова многострукост назива се еуклидски простор.
Подмногострукости
thumb|-сфера са округлом метриком је уграђена Риманова подмногострукост од .
Нека је Риманова многострукост и нека је имерзована подмногострукост или уграђена подмногострукост од . Инверзна слика (пулбак) метрике је Риманова метрика на , а се назива Риманова подмногострукост од .
У случају када је , пресликавање је дато са и метрика је само рестрикција метрике на векторе тангентне дуж . Генерално, формула за је
где је диференцијал (pushforward) вектора пресликавањем
Примери: -сфера
је глатка уграђена подмногострукост еуклидског простора . Риманова метрика коју ово индукује на назива се округла метрика или стандардна метрика. Фиксирајмо реалне бројеве . Елипсоид
је глатка уграђена подмногострукост еуклидског простора . График глатке функције је глатка уграђена подмногострукост од са својом стандардном метриком. Ако није просто повезана, постоји наткривајуће пресликавање , где је универзални наткривач од . Ово је имерзија (јер је локално дифеоморфизам), па аутоматски наслеђује Риманову метрику. По истом принципу, сваки наткривајући простор Риманове многострукости наслеђује Риманову метрику.
С друге стране, ако већ има Риманову метрику , тада се имерзија (или улагање) назива изометријска имерзија (или изометријско улагање) ако је . Стога су изометријске имерзије и изометријска улагања Риманове подмногострукости.
Производи
Нека су и две Риманове многострукости, и размотримо многострукост производа . Риманове метрике и природно стављају Риманову метрику на што се може описати на неколико начина. Разматрајући декомпозицију може се дефинисати
Ако је глатка координатна карта на и глатка координатна карта на , тада је глатка координатна карта на Нека је репрезентација метрике у карти и нека је репрезентација метрике у карти . Репрезентација метрике у координатама је где је
На пример, размотримо -торус . Ако се свакој копији додели округла метрика, производ Риманове многострукости назива се равни торус. Као други пример, Риманов производ , где свака копија има еуклидску метрику, изометричан је са са еуклидском метриком.
Позитивне комбинације метрика Нека су Риманове метрике на Ако су било које позитивне глатке функције на , тада је друга Риманова метрика на
Свака глатка многострукост допушта Риманову метрику Теорема: Свака глатка многострукост допушта (неканонску) Риманову метрику.
Ово је фундаментални резултат. Иако се већи део основне теорије Риманових метрика може развити користећи само чињеницу да је глатка многострукост локално еуклидски тополошки простор, за овај резултат је неопходно користити то да су глатке многострукости Хаусдорфове и паракомпактне. Разлог је тај што доказ користи разбијање јединице.
Нека је глатка многострукост и локално коначан атлас тако да су отворени подскупови и су дифеоморфизми. Такав атлас постоји јер је многострукост паракомпактна.
Нека је диференцијабилно разбијање јединице подређено датом атласу, тј. такво да је за све .
Дефинишимо Риманову метрику на са
где је
Овде је еуклидска метрика на и је њена инверзна слика дуж . Док је дефинисана само на , производ је дефинисан и гладак на јер је . Он узима вредност 0 изван . Пошто је атлас локално коначан, у свакој тачки збир садржи само коначно много ненултих чланова, тако да збир конвергира. Једноставно је проверити да је Риманова метрика.