десно|мини|208px|Делтоид (црни) заједно са својом унутрашњошћу је Какејин скуп игала: игла (плава) дужине 1 може извршити потпуну ротацију унутар њега.
У математици, Какејин скуп, или Безиковичев скуп, јесте скуп тачака у Еуклидовом простору који садржи јединичну дуж у сваком правцу. На пример, круг полупречника 1/2 у Еуклидовој равни, или лопта полупречника 1/2 у тродимензионалном простору, формирају Безиковичев скуп.
Какејин скуп игала (понекад познат и само као Какејин скуп) јесте скуп у равни са јачим својством, тако да јединична дуж може бити непрекидно ротирана за 360 степени унутар њега, враћајући се у свој почетни положај. Поново, круг полупречника 1/2 представља пример Какејиног скупа игала.
Већи део истраживања у овој области проучавао је проблем колико мали ови скупови могу бити, што је први поставио Соичи Какеја 1917. године. Абрам Безикович је 1920. године доказао да у равни постоје Безиковичеви скупови мере нула, а 1928. године да постоје Какејини скупови игала у равни произвољно мале позитивне мере. Не постоје Какејини скупови игала мере 0. Какејина хипотеза тврди да Безиковичеви скупови у n-димензионалном простору морају имати Хаусдорфову димензију n; хипотеза остаје отворена за n>3. Ова питања припадају геометријској теорији мера.
Безиковичеви скупови мере нула Године 1920, разматрајући проблем интеграције, Безикович је показао да постоје Безиковичеви скупови у равни чија је мера нула. Такви скупови се могу конструисати коришћењем методе Пероновог дрвета објашњене у наставку, без потребе за Паловим спајањима. Постоје и друге методе; на пример, Каан користи Канторове скупове да би конструисао Безиковичев скуп мере нула у равни.
Какејин проблем игле Какејин проблем игле поставља питање да ли постоји минимална површина области у равни, у којој се игла јединичне дужине може окренути за 360°. Ово питање је први пут поставио, за конвексне области, Соичи Какеја 1917. године. Минимална површина за конвексне скупове постиже се једнакостраничним троуглом висине 1 и површине 1/, као што је Ђула Пал показао 1920. године.
Чини се да је Какеја сугерисао да би Какејин скуп минималне површине, без ограничења конвексности, био облик делтоида са три темена. Међутим, ово је нетачно; постоје мањи неконвексни Какејини скупови.
Какејини скупови игала произвољно мале мере мини|„Ницање Пероновог дрвета”: метод за конструисање Какејиног скупа мале мере. Овде су приказана два могућа начина дељења троугла и преклапања делова како би се добио мањи скуп, први са два троугла, а други са осам. Метод се може користити за конструисање произвољно малог скупа сечењем оригиналног троугла на делова. Видети за детаље.
Абрам Безикович је 1928. године успео да покаже да не постоји доња граница > 0 за површину такве области , у којој се игла јединичне дужине може окренути. То јест, за свако , постоји област површине унутар које се игла може кретати непрекидним покретом који је ротира за пуних 360 степени. Америчко математичко друштво (AMS) продуцирало је филм 1962. године у којем Безикович објашњава конструкцију таквог скупа.
Један метод конструисања Какејиног скупа игала произвољно мале површине (као и Безиковичевог скупа мере нула) познат је као „Пероново дрво”, названо по Оскару Перону који је поједноставио Безиковичеву оригиналну конструкцију. Прецизна конструкција и нумеричке границе дате су у Безиковичевој популаризацији.
Прво запажање које треба извести је да се игла може кретати праволинијски колико год жели без преласка преко икакве површине. Ово је зато што је игла дуж нулте ширине. Други трик Ђуле Пала, познат као Палова спајања (енгл. Pál joins),The Kakeya Problem by Markus Furtner описује како померити иглу између било које две паралелне локације док се прелази занемарљива површина. Игла ће пратити облик слова „N”. Креће се од прве локације на некој удаљености уз леву страну слова „N”, прави угао према средњој дијагонали, креће се низ дијагоналу, прави други угао, а затим се креће уз паралелну десну страну слова „N” док не стигне до тражене друге локације. Једине области које нису нулте површине, а преко којих је пређено, јесу два кружна исечка на угловима слова „N”. Пређена површина је пропорционална углу који је пропорционалан са , и стога пређена површина може бити произвољно мала одабиром одговарајуће великог .
Конструкција почиње са било којим троуглом висине 1 и неким значајним углом на врху кроз који игла може лако проћи. (Видети слику десно.) Циљ је извршити много операција на овом троуглу како би се његова површина смањила док се задржавају правци кроз које игла може пролазити истим. Прво, размотримо дељење троугла на два дела и транслирање делова једног преко другог тако да се њихове основе преклапају на начин који минимизује укупну површину. Игла је у стању да прође кроз исте правце тако што прелази оне дате првим троуглом, прескачући на други, а затим прелазећи правце дате другим троуглом. Игла може да прескаче троуглове користећи „N” технику јер су две праве на којима је оригинални троугао пресечен паралелне. У овој конструкцији, дуж заправо напушта првобитну површину преклапајућег троугла и прелази преко нове додатне (произвољно мале) површине.
Сада, делимо наш троугао на 2n подтроуглова. Слика приказује осам. За сваки узастопни пар троуглова, извршавамо исту операцију преклапања коју смо претходно описали како бисмо добили упола мање нових облика, од којих се сваки састоји од два преклапајућа троугла. Затим, преклапамо узастопне парове ових нових облика тако што их померамо тако да се њихове основе преклапају на начин који минимизује укупну површину. Ово понављамо n пута док не остане само један облик. Поново, игла је у стању да прође кроз исте правце пролазећи кроз њих у сваком од 2n подтроуглова редоследом њихових праваца. Игла може да прескочи узастопне троуглове користећи „N” технику јер су две праве на којима су ови троуглови пресечени паралелне.
мини|Какејин скуп игала конструисан из Перонових дрвећа.
Детаљна анализа настале фигуре показује да се њена површина смањује на нулу како n расте. Безиковичев скуп може бити креиран комбиновањем шест ротација Пероновог дрвета створеног од једнакостраничног троугла.
Године 1941, Х. Ј. ван Алфен је показао да постоје произвољно мали Какејини скупови игала унутар круга полупречника 2 + ε (за произвољно ε > 0). Просто повезани Какејини скупови игала са мањом површином од делтоида пронађени су 1965. године. Мелвин Блум и Исак Џејкоб Шенберг су независно представили просто повезане Какејине скупове игала чија се површина приближава вредности , познатој као Блум-Шенбергов број (≈0,2843). Шенберг је поставио хипотезу да је овај број доња граница за површину просто повезаних Какејиних скупова игала. Међутим, 1971. године, Ф. Канингам је показао да, за дато ε > 0, постоји просто повезан Какејин скуп игала површине мање од ε садржан у кругу полупречника 1.
Иако постоје Какејини скупови игала произвољно мале позитивне мере и Безиковичеви скупови мере 0, не постоје Какејини скупови игала мере 0.
Какејина хипотеза
Тврђење Исто питање о томе колико мали би ови Безиковичеви скупови могли бити затим је постављено у вишим димензијама, што је довело до низа хипотеза колективно познатих као Какејине хипотезе, које су помогле у покретању области математике познате као геометријска теорија мера. Конкретно, ако постоје Безиковичеви скупови мере нула, да ли би они такође могли имати s-димензионалну Хаусдорфову меру нула за неке димензије мање од димензије простора у којем се налазе? Ово питање доводи до следеће хипотезе:
Познато је да је ово тачно за n = 1, 2, 3 али су за више димензије познати само делимични резултати.
Какејина хипотеза је уско повезана са хипотезом о рестрикцији, Бохнер-Рисовом хипотезом и хипотезом о локалном глачању.
У фебруару 2025. године, доказ за случај n = 3 су на arXiv објавили Хонг Ванг и Џошуа Зал. Какејина хипотеза у три димензије описана је као „један од најтраженијих отворених проблема у геометријској теорији мера”, а 2026. године Хонг Ванг је награђена Филдсовом медаљом делом и због овог рада.
Какејина максимална функција Модеран начин приступа овом проблему је разматрање одређеног типа максималне функције, коју конструишемо на следећи начин: Означимо са Sn−1 ⊂ Rn јединичну сферу у n-димензионалном простору. Дефинишимо као цилиндар дужине 1, полупречника δ > 0, са центром у тачки a ∈ Rn, чија је дужа страна паралелна са правцем јединичног вектора e ∈ Sn−1. Тада за локално интеграбилну функцију f, дефинишемо Какејину максималну функцију од f као
где m означава n-димензионалну Лебегову меру. Приметимо да је дефинисано за векторе e на сфери Sn−1.
Затим постоји хипотеза за ове функције која ће, ако је тачна, имплицирати хипотезу о Какејином скупу за више димензије:
Резултати Неки од резултата ка доказивању Какејине хипотезе су следећи:
Какејина хипотеза је тачна за n = 1 (тривијално) и n = 2 (Дејвис). У било ком n-димензионалном простору, Вулф је показао да димензија Какејиног скупа мора бити најмање (n+2)/2. Године 2002, Кац и Тао побољшали су Вулфову границу на , што је боље за n > 4. Године 2000, Кац, Лаба и Тао доказали су да је димензија Минковског Какејиних скупова у 3 димензије строго већа од 5/2. Године 2000, Жан Бурген повезао је Какејин проблем са аритметичком комбинаторикомJ. Bourgain, Harmonic analysis and combinatorics: How much may they contribute to each other?, Mathematics: Frontiers and Perspectives, IMU/Amer. Math. Soc., 2000, која укључује хармонијску анализу и адитивну теорију бројева. Године 2017, Кац и Зал побољшали су доњу границу за Хаусдорфову димензију Безиковичевих скупова у 3 димензије на за апсолутну константу . Године 2025, Ванг и Зал објавили су на платформи arXiv потенцијални доказ Какејине хипотезе у случају n = 3.
Примене у анализи Помало изненађујуће, показало се да су ове хипотезе повезане са бројним питањима у другим областима, посебно у хармонијској анализи. На пример, 1971. године, Чарлс Феферман је успео да искористи конструкцију Безиковичевог скупа како би показао да у димензијама већим од 1, одсечени Фуријеови интеграли узети преко лопти са центром у координатном почетку чији полупречници теже бесконачности не морају да конвергирају у Lp норми када је p ≠ 2 (ово је у супротности са једнодимензионалним случајем где такви одсечени интеграли конвергирају).
Аналози и уопштавања Какејиног проблема
Скупови који садрже кругове и сфере Аналози Какејиног проблема укључују разматрање скупова који садрже општије облике од правих, као што су кругови.
Године 1997. и 1999. године, Вулф је доказао да скупови који садрже сферу сваког полупречника морају имати пуну димензију, односно да је димензија једнака димензији простора у којем се налазе, и доказао је ово доказујући границе за кружну максималну функцију аналогну Какејиној максималној функцији.
Постављена је хипотеза да постоје скупови мере нула који садрже сферу око сваке тачке. Резултати Елајаса Стајна доказали су да сви такви скупови морају имати позитивну меру када је n ≥ 3, а Марстранд је доказао исто за случај n=2.
Скупови који садрже k-димензионалне кругове Уопштавање Какејине хипотезе је разматрање скупова који садрже, уместо дужи у сваком правцу, на пример, делове k-димензионалних потпростора. Дефинишимо (n, k)-Безиковичев скуп K као компактан скуп у Rn који садржи транслацију сваког k-димензионалног јединичног круга чија је Лебегова мера нула. То јест, ако B означава јединичну лопту са центром у нули, за сваки k-димензионални потпростор P, постоји x ∈ Rn тако да (P ∩ B) + x ⊆ K. Дакле, (n, 1)-Безиковичев скуп је стандардни Безиковичев скуп раније описан.
Године 1979, Марстранд је доказао да не постоје (3, 2)-Безиковичеви скупови. Међутим, отприлике у исто време, Кенет Фалконер је доказао да не постоје (n, k)-Безиковичеви скупови за 2k > n. Најбољу границу до сада поставио је Бурген, који је доказао да такви скупови не постоје када је 2k−1 + k > n.
Какејини скупови у векторским просторима над коначним пољима