мини|Тропска кубна крива У математици, тропска геометрија је проучавање полинома и њихових геометријских својстава када се сабирање замени минимумом, а множење обичним сабирањем:
, .
Тако би, на пример, класични полином постао . Овакви полиноми и њихова решења имају важне примене у проблемима оптимизације, на пример, код проблема оптимизације времена поласка у железничкој мрежи.
Тропска геометрија је варијанта алгебарске геометрије у којој графови полинома подсећају на подеоно линеарне мреже, и у којој бројеви припадају тропском полупрстену уместо пољу. Пошто су класична и тропска геометрија уско повезане, резултати и методе се могу преводити из једне у другу. Алгебарски варијетети се могу мапирати у своје тропске пандане, а пошто овај процес и даље задржава одређене геометријске информације о оригиналном варијетету, може се користити за доказивање и уопштавање класичних резултата из алгебарске геометрије, као што су Брил—Нетерина теорема или израчунавање Громов—Витенових инваријанти, коришћењем алата тропске геометрије.
Историја Основне идеје тропске анализе развили су независно једни од других, користећи исту нотацију, математичари који су радили у различитим областима.Види и референце у њој. Централне идеје тропске геометрије појавиле су се у различитим облицима у бројним ранијим радовима. На пример, Виктор Павлович Маслов је увео тропску верзију процеса интеграције. Такође је приметио да су Лежандрова трансформација и решења Хамилтон—Јакобијеве једначине линеарне операције у тропском смислу. Међутим, тек од касних 1990-их година уложен је напор да се консолидују основне дефиниције ове теорије. То је било мотивисано њеном применом у енумеративној алгебарској геометрији, са идејама Максима Концевича и радовима Григорија Михалкина, између осталих.
Придев тропски сковали су француски математичари у част мађарско-бразилског информатичара Имреа Шимона, који је писао о овој области. Жан-Ерик Пен приписује ковање овог термина Доминику Перену, док сам Шимон ту реч приписује Кристијану Шофрију.
Алгебарска основа
Тропска геометрија се заснива на тропском полупрстену. Он се дефинише на два начина, у зависности од конвенције о максимуму или минимуму.
Мин тропски полупрстен је полупрстен , са операцијама: , . Операције и називају се тропско сабирање и тропско множење. Неутрални елемент за је , а неутрални елемент за је 0.
Слично томе, макс тропски полупрстен је полупрстен , са операцијама:
, .
Неутрални елемент за је , а неутрални елемент за је 0.
Ови полупрстени су изоморфни под негацијом , и обично се бира један од њих и назива једноставно тропски полупрстен. Конвенције се разликују међу ауторима и подобластима: неки користе мин конвенцију, а неки макс конвенцију.
Операције тропског полупрстена моделују како се валуације понашају при сабирању и множењу у валуираном пољу.
Нека уобичајена валуирана поља која се срећу у тропској геометрији (са мин конвенцијом) су:
или са тривијалном валуацијом, за свако . или његова проширења са p-адичком валуацијом, за a и b узајамно проста са p. Поље Лоранових редова (целобројни степени) или поље (комплексних) Пизоових редова , где валуација враћа најмањи експонент од t који се појављује у реду.
Тропски полиноми Тропски полином је функција која се може изразити као тропски збир коначног броја мономских чланова. Мономски члан је тропски производ (и/или количник) константе и променљивих из скупа . Према томе, тропски полином је минимум коначне колекције афино-линеарних функција у којима променљиве имају целобројне коефицијенте, тако да је он конкавна функција, непрекидна функција и подеоно линеарна функција.
За дати полином у прстену Лоранових полинома где је валуирано поље, тропикализација полинома , која се означава са , јесте тропски полином добијен од тако што се множење и сабирање замене својим тропским панданима, а свака константа у својом валуацијом. Односно, ако је , онда је .
Скуп тачака у којима тропски полином није диференцијабилан назива се његова придружена тропска хиперповрш, означена са (по аналогији са скупом нула полинома). Еквивалентно, је скуп тачака у којима се минимум међу члановима од достиже бар два пута. Када је за Лоранов полином , ова друга карактеризација од одражава чињеницу да се у сваком решењу једначине , минимална валуација чланова од мора достићи бар два пута како би се сви они поништили.
Тропски варијетети Дефиниције За X које је алгебарски варијетет у алгебарском торусу , тропски варијетет од X или тропикализација од X, означена са , представља подскуп од који се може дефинисати на више начина. Еквивалентност ових дефиниција назива се Основна теорема тропске геометрије.
Пресек тропских хиперповрши Нека је идеал Лоранових полинома који се поништавају на X у . Дефинишемо
Када је X хиперповрш, њен поништавајући идеал је главни идеал генерисан Лорановим полиномом f, а тропски варијетет је управо тропска хиперповрш .
Сваки тропски варијетет је пресек коначног броја тропских хиперповрши. Коначан скуп полинома назива се тропска база за X ако је пресек тропских хиперповрши од . У општем случају, генераторни скуп од није довољан да формира тропску базу. Пресек коначног броја тропских хиперповрши назива се тропски преваријетет и, генерално, није тропски варијетет.
Иницијални идеали Избором вектора у дефинише се пресликавање са мономских чланова од у тако што се члан m слика у . За Лоранов полином , дефинише се иницијална форма од f као збир чланова од f за које је минимално. За идеал , дефинише се његов иницијални идеал у односу на као . Затим се дефинише . Пошто радимо у Лорановом прстену, ово је исто што и скуп тежинских вектора за које не садржи моном.
Када K има тривијалну валуацију, је управо иницијални идеал од у односу на мономско уређење (тежинско уређење) дато тежинским вектором . Из тога следи да је потлепеза Гребнерове лепезе од .
Слика валуационог пресликавања Претпоставимо да је X варијетет над пољем K са валуацијом v чија је слика густа у (на пример, поље Пизоових редова). Делујући по координатама, v дефинише пресликавање са алгебарског торуса у . Тада се дефинише , где црта изнад означава затвореност у еуклидској топологији. Ако валуација од K није густа у , онда се горња дефиниција може прилагодити проширењем скалара на веће поље које има густу валуацију.
Ова дефиниција показује да је неархимедовска амеба над алгебарски затвореним неархимедовским пољем K.
Ако је X варијетет над , се може посматрати као гранични објекат амебе када основа t логаритамског пресликавања тежи бесконачности (види такође лог полупрстен).
Полиедарски комплекс Следећа карактеризација интринзично описује тропске варијетете без позивања на алгебарске варијетете и тропикализацију. Скуп V у је несводљив (иредуцибилан) тропски варијетет ако је он носач тежинског полиедарског комплекса чисте димензије d који задовољава услов нулте тензије (zero-tension) и повезан је у кодимензији један. Када је d једнако један, услов нулте тензије значи да је око сваког темена пондерисани збир излазних праваца ивица једнак нули. За више димензије, суме се узимају око сваке ћелије димензије након количника по афином распону ћелије. Својство да је V повезан у кодимензији један значи да за сваке две тачке које леже на ћелијама димензије d, постоји путања која их повезује, а која не пролази ни кроз једну ћелију димензије мање од .
Тропске криве Проучавање тропских кривих (тропских варијетета димензије један) посебно је добро развијено и снажно је повезано са теоријом графова. На пример, теорија дивизора тропских кривих повезана је са играма испаљивања жетона на графовима придруженим тропским кривама.
Многе класичне теореме алгебарске геометрије имају своје пандане у тропској геометрији, укључујући:
Папову теорему о шестоуглу. Безуову теорему. Формулу степен-род. Риман—Рохову теорему. Групни закон кубика за елиптичке криве.
Олег Виро је користио тропске криве за класификацију реалних кривих 7. степена у равни до на изотопију. Његов метод крпљења даје процедуру за конструкцију реалне криве задате класе изотопије из њене тропске криве.
Примене Тропска права појавила се у дизајну аукција Пола Клемперера које је користила Банка Енглеске током финансијске кризе 2007. године. Јошинори Шиозава дефинисао је суптропску алгебру као полупрстен макс-пута или мин-пута (уместо макс-плус и мин-плус). Открио је да се Рикардијанска теорија трговине (међународна трговина без трговине инпутима) може интерпретирати као суптропска конвексна алгебра. Ово је сажетак Y. Shiozawa, "Subtropical Convex Geometry as the Ricardian Theory of International Trade" нацрта рада. Тропска геометрија се такође користила за анализу неуронских мрежа. Један од таквих резултата је да су feedforward неуронске мреже са ReLU активацијом управо тропске рационалне криве.
Штавише, неколико проблема оптимизације који се јављају, на пример, у распоређивању послова, анализи локација, транспортним мрежама, доношењу одлука и динамичким системима са дискретним догађајима, могу се формулисати и решити у оквиру тропске геометрије. Тропски пандан Абел—Јакобијевог пресликавања може се применити на дизајн кристала. За тежине у тежинском аутомату са коначним бројем стања често се захтева да чине тропски полупрстен. Тропска геометрија може да покаже самоорганизовану критичност.
Тропска геометрија је такође нашла примену у неколико тема у оквиру теоријске физике високих енергија. Конкретно, тропска геометрија је коришћена за драстично поједностављивање амплитуда теорије струна до њихових теоријско-пољских граница и пронашла је везе са конструкцијама као што су амплитуедар и трополошки (тополошки Керолови) сигма модели.
Тропска геометрија је такође нашла примену у филогенији. Простор филогенетских стабала чини тропски линеарни простор, који је тропски конвексан. Ова веза је мотивисала истраживања статистичких метода на просторима стабала, укључујући непараметарске приступе проналажењу консензусних стабала заснованих на тропској оптимизацији.
Види још Тропска анализа Тропска компактификација
Референце
Литература
Maslov, Victor (1986). "New superposition principle for optimization problems", Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles 1985/6, Centre de Mathématiques de l’École Polytechnique, Palaiseau, exposé 24. Maslov, Victor (1987). "Méthodes Opératorielles". Мocку, Mir, 707 p. (Види поглавље 8, Théorie linéaire sur semi moduli, pp. 652–701).
Додатна литература
Tropical geometry and mirror symmetry
Спољашње везе Tropical Geometry, I