Числа Піфагора (піфагорова або пітагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідомішим прикладом є трійка (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого натурального k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c.

Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком діофантового рівняння a2+b2=c2. Але не всі розв'язки є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Також, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 є ірраціональним числом. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок:

(3, 4, 5)(5, 12, 13)(7, 24, 25)(8, 15, 17)(9, 40, 41)(11, 60, 61)(12, 35, 37)(13, 84, 85)(16, 63, 65)(20, 21, 29)(28, 45, 53)(33, 56, 65)(36, 77, 85)(39, 80, 89)(48, 55, 73)(65, 72, 97)

Загальні формули За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа

є числами Піфагора. Вони будуть примітивними, тоді, і тільки тоді m і n взаємно прості й одне з них парне (якби обидва були непарними, тоді числа a, b і c були б парними, а значить, трійка не була б примітивною). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a, b, c — деякі примітивні числа Піфагора. Вочевидь, два з них мають бути непарними, а одне — парним. Доведемо, що випадок, коли a, b — непарні, а c — парне неможливий. Справді, якщо c є парним, то c2 ділиться на 4, тоді як a2 + b2 =(2p+1)2 + (2q+1)2 =4p2+4p+1+4q2+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a, c — непарні, а b — парне. Записавши a2 − c2 = b2 і враховуючи a2 − c2 = (a+с)×(a−с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:

У попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. Інакше їх спільний дільник був би спільним дільником і для a, c, а значить і для b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їхній добуток є квадратом цілого, то кожне з цих чисел є квадратом цілого.

Якщо покласти

то вирази для a, b, c через m, n саме і будуть шуканими формулами.

Див. також Піфагорова четвірка Рівняння Якобі — Маддена Теорема Ферма про прямокутний трикутник

Джерела