У лінійній алгебрі дві матриці є еквівалентними за рядками, якщо одна з них може бути замінена на іншу послідовністю елементарних операцій над рядками. Навпаки, дві × матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків. Концепція найчастіше застосовується щодо матриць, які представляють системи лінійних рівнянь, і в цьому випадку дві матриці однакового розміру є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли відповідні однорідні системи мають однаковий набір розв'язків, або еквівалентно матриці мають однаковий нульовий простір.
Оскільки елементарні операції над рядками є оборотними, еквівалентність рядків є відношенням еквівалентності. Його зазвичай позначають тильдою (~).Lay 2005, p. 21, Example 4
Існує аналогічне поняття еквівалентності стовпців, яке визначається елементарними операціями над стовпцями; дві матриці є еквівалентними за стовпцями тоді й лише тоді, коли відповідні транспоновані матриці є еквівалентними за рядками. Дві прямокутні матриці, які можуть бути перетворені одну на іншу, дозволяючи як елементарні операції над рядками, так і над стовпцями, називаються просто еквівалентними.
Елементарні операції з рядками Елементарне перетворення рядка — це будь-яка із наступних дій:
Зміна місцями: поміняти місцями два рядки матриці. Масштаб: помножити рядок матриці на ненульову константу. Порядкове додавання: додати домножений на число один рядок матриці до іншого рядка.
Дві матриці і є еквівалентами за рядками, якщо можна перетворити матрицю на матрицю за допомогою послідовності елементарних операцій над рядками.
Простір рядків
Простір рядків матриці — це множина всіх можливих лінійних комбінацій її вектор-рядків. Якщо рядки матриці являють собою систему лінійних рівнянь, тоді простір рядків складається з усіх лінійних рівнянь, які можна алгебраїчно вивести з рівнянь системи. Дві × матриці є еквівалентними рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків.
Наприклад, матриці
є еквівалентними за рядками, простір рядків — це всі вектори вигляду . Відповідні системи однорідних рівнянь містять ту ж саму інформацію:
Зокрема, з обох цих систем випливає рівняння вигляду .
Еквівалентність визначень Факт того, що дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків, є важливою теоремою лінійної алгебри. Доказ базується на таких спостереженнях:
Елементарні операції над рядками не впливають на простір рядків матриці. Зокрема, будь-які дві еквівалентні за рядками матриці мають однаковий простір рядків. Будь-яку матрицю можна звести елементарними операціями над рядками до матриці у скороченій формі рядків. Дві матриці у скороченій формі рядків мають однаковий простір рядків тоді й лише тоді, коли вони рівні.
Цей алгоритм міркувань також доводить, що кожна матриця та унікальна матриця, зі скороченою формою ешелону рядка, є еквівалентними за рядками.
Додаткові властивості
Оскільки нульовий простір матриці є ортогональним доповненням простору рядків, дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий нульовий простір. Ранг матриці дорівнює розмірності простору рядків, тому еквівалентні за рядками матриці повинні мати однаковий ранг. Він дорівнює кількості у формі ешелону скороченого ряду. Матриця є невиродженою тоді й лише тоді, коли вона є еквівалентною за рядками з одиничною матрицею. Матриці і є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли існує невироджена матриця така, що . Roman 2008, p. 9, Example 0.3
Див. також
Елементарні операції з рядками Простір рядка Базис (лінійна алгебра) Скорочення рядків (Зменшена) рядова ешелонна форма
Примітки
Література