Рівняння Ланжевена — стохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.
Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера — Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.
Броунівський рух
Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення броунівської частинки з масою , що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки за законом Стокса, шумового члена (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:
Розв'язок рівняння Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.
Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:
де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше, — дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це так звана дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.
Перепишемо рівняння в термінах швидкості:
де
Нехай в початковий момент часу частинка мала швидкість . Будемо шукати розв'язки у вигляді: , тоді для отримаємо наступне диференціальне рівняння:
У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:
З нього випливають два важливих співвідношення: . Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу. . Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення .
Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта :
Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:
Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:
де B — рухливість броунівської частинки, а - коефіцієнт дифузії.
Див. також
Ланжевенівська динаміка
Посилання