Ґратка Ліча — ґратка певного типу в 24-вимірному просторі.
Побудови
Побудова через код Голея Гратку Ліча можна визначити за допомогою коду Голея типу як образ при стисканні в разів множини векторів таких, що
і для кожного класу j лишків за модулем 4 двійкове 24-бітове слово v, задане як
належить .
Побудова через псевдоевклідів простір сигнатури (25,1) Гратку Ліча можна побудовати за допомогою псевдоевклідового простору сигнатури (25,1). А саме, в цьому просторі розглядають парну унімодулярну ґратку , що складається з векторів , у яких усі координати одночасно цілі або одночасно напівцілі, і при цьому , інакше кажучи, скалярний добуток із вектором зі всіх одиниць парний.
Такій ґратці належить ізотропний вектор . Зазначимо, що через ізотропність тому можна розглянути фактор-простір . Обмеження скалярного добутку на цей факторпростір (знову-таки, через ізотропність ) коректно визначене та виявляється додатно визначеним. Образ перетину початкової ґратки з ортогональним доповненням за такої факторизації і буде ґраткою Ліча в отриманому 24-вимірному евклідовому просторі.
Властивості Ґратка Ліча є парною самодвоїстою (зокрема, унімодулярною) ґраткою з довжиною найкоротшого вектора рівною 2. Ґратка Ліча реалізує найбільше можливе«Контактное число шаров и сферические коды» — фільм із серії «Математические этюды» контактне число в розмірності 24. Її контактне число дорівнює 196560. Ґратка Ліча реалізує щільнеАнотація курсу В. В. Успенського Решетка Лича, или По направлению к Монстру пакування куль у розмірності 24. Щільність пакування ґратки Ліча становить . Група автоморфізмів ґратки Ліча — група Конвея Co0. Вона включає деякі спорадичні групи, зокрема Co1 як фактор-групу Co0 за інверсією простору, і як підгрупи. Група Конвея має порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хоча обертова симетрія ґратки Ліча дуже висока, її група автоморфізмів не включає жодних відбиттів; іншими словами, ґратка Ліча хіральна.
Див. також Ґратка E8
Література
Примітки