Унімодулярна ґратка — ціла ґратка з визначником . Останнє еквівалентне тому, що об'єм фундаментальної області ґратки дорівнює .
Визначення Ґратка — вільна абелева група скінченного рангу із симетричною білінійною формою . Ґратку можна також розглядати як підгрупу в дійсному векторному просторі із симетричною білінійною формою. Число називається розмірністю ґратки, це розмірність відповідного дійсного векторного простору; це те саме, що й ранг -модуля , або число твірних вільної групи . Ґратка називається цілою, якщо форма набуває тільки цілочисельних значень. Норма елемента ґратки визначається як . Ґратка називається додатно визначеною або лоренцевою, і так далі, якщо таким є її векторний простір. Зокрема: Ґратка є додатно визначеною, якщо норма всіх ненульових елементів додатна. Сигнатура ґратки визначається як сигнатура форми на векторному просторі. Визначник ґратки — це визначник матриці Грама її базису. Ґратка називається унімодулярною, якщо її визначник дорівнює . Унімодулярна ґратка називається парною, якщо всі норми її елементів парні.
Приклади
, а також — унімодулярні ґратки. Ґратка E8, ґратка Ліча — парні унімодулярні ґратки.
Властивості
Для даної ґратки в вектори такі, що для будь-якого також утворюють ґратку звану двоїстою ґраткою до . Ціла ґратка унімодулярна тоді й лише тоді, коли її двоїста ґратка є цілою. Унімодулярна ґратка тотожна своїй двоїстій, тому унімодулярні ґратки також називаються самодвоїстими. Непарні унімодулярні ґратки існують для всіх сигнатур. Парна унімодулярна ґратка із сигнатурою існує тоді й лише тоді, коли ділиться на 8. Зокрема, парні додатно визначені унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8. Тета-функція унімодулярних додатно визначених ґраток є модулярною формою.
Застосування Друга група когомологій замкнутих однозв'язних орієнтованих топологічних чотиривимірних многовидів є унімодулярною ґраткою. Михайло Фрідман показав, що ця ґратка практично визначає многовид: існує єдиний многовид для кожної парної унімодулярної ґратки, і рівно по два для кожної непарної унімодулярної ґратки. Зокрема, для нульової форми це приводить до гіпотези Пуанкаре для 4-вимірних топологічних многовидів. Теорема Дональдсона свідчить, що якщо многовид є гладким і його ґратка додатно визначена, то вона повинна бути сумою копій . Зокрема, що більшість із цих многовидів не має гладкої структури.
Література
Посилання Каталог унімодулярних ґраток Ніла Слоуна.