У математиці фрактальна послідовність — це така послідовність, яка містить саму себе як підпослідовність. Наприклад,
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Якщо перше входження кожного n видалити, послідовність, що залишилася, буде ідентичною початковій. Процес можна повторювати нескінченно довго, так що фактично початкова послідовність містить не одну свою копію, а нескінченну кількість.
Визначення Точне визначення фрактальної послідовності залежить від визначення нескінченної послідовності: послідовність є нескінченною послідовністю, якщо для кожного ,
(F1) для нескінченної кількості .
Нехай — -й індекс , для якого . Нескінченна послідовність x є фрактальною послідовністю, якщо виконуються дві додаткові умови:
(F2) якщо , то існує таке, що
(F3) якщо , то для кожного існує рівно одне таке, що
Відповідно до (F2), першому входженню кожного в повинно принаймні один раз передувати кожне з чисел , і, відповідно до (F3), між послідовними входженнями в кожне , менше за , зустрічається рівно один раз.
Приклад Нехай — додатне ірраціональне число. Нехай
множина чисел , де і — натуральні числа
і нехай
- послідовність, отримана упорядкуванням чисел S(θ) за зростанням. Послідовність є сигнатурою , і це фрактальна послідовність.
Наприклад, сигнатура золотого перетину (тобто ) починається з
1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, …,
а сигнатура починається з
1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, …
Це послідовності та в Інтернет-енциклопедії цілих послідовностей.
Див. також Послідовність Ґулда Послідовність Морзе — Туе
Посилання Он-лайн енциклопедія цілочислових послідовностей :
Література