Нерівність Гарді is an нерівність в математиці названа ім'ям англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.
В дискретній версії стверджує, що якщо — послідовність невід'ємних дійсних чисел, тоді для будь-якого дійсного числа p > 1 виконується
Якщо права частина є скінченною, то рівність можлива лише тоді й лише тоді коли для всіх n.
В інтегральній версії стверджує: якщо f — невід'ємна вимірна функція, тоді
Якщо права частина є скінченною, то рівність можлива лише тоді й лише тоді коли f(x) = 0 майже скрізь.
Нерівність Гарді була вперше опублікована та доведена (принаймні дискретна версія з гіршою константою) у 1920 році в примітці Гарді.
Оригінальна формула була в інтегральній формі, дещо відрізнялася від наведеної вище.
Узагальнення Дискретна версія з ваговими коефіцієнтами: де , та ,
Інтегральна версія з узагальненими степенями: якщо , то
якщо , то
Доведення Для доведення використовують нерівність Гельдера або нерівність Мінковського.
Див. також Нерівність Карлемана
Примітки