Ексцентрична аномалія в орбітальній механіці — кутовий параметр, що визначає положення тіла, яке рухається еліптичною кеплерівською орбітою. Це кут, виміряний з центру еліпса між періапсом орбіти та поточним положенням тіла. Ексцентрична аномалія — один із трьох кутових параметрів («аномалій»), які можна використовувати для визначення положення вздовж орбіти, два інших — істинна аномалія та середня аномалія.
Графічне представлення
Розгляньмо еліпс, заданий рівнянням
де — велика піввісь, а — мала піввісь.
Для точки на еліпсі, , що представляє положення тіла, яке обертається по еліптичній орбіті, ексцентрична аномалія — це кут на рисунку. Ексцентрична аномалія — це один із кутів прямокутного трикутника з однією вершиною в центрі еліпса, суміжною стороною на великій осі, гіпотенузою (що дорівнює великій півосі еліпса) та протилежною стороною (яка перпендикулярна до великої осі та містить точку на допоміжному колі радіуса ), що проходить через точку . Ексцентричну аномалію вимірюють у тому ж напрямку, що й істинна аномалія, показана на рисунку як . Ексцентрична аномалія в цих координатах визначається формулами
і
Друге рівняння можна визначити за допомогою співвідношення
,
яке означає, що . Рівняння можна одразу виключити, оскільки воно перетинає еліпс у неправильному напрямку. Також можна вважати, що друге рівняння походить з подібного трикутника, протилежна сторона якого має таку ж довжину , як і відстань від до великої осі, а гіпотенуза дорівнює малій півосі еліпса.
Формули
Радіус та ексцентрична аномалія Ексцентриситет визначається як:
З теореми Піфагора, застосованої до трикутника з гіпотенузою (відстанню ):
Таким чином, радіус (відстань від фокуса до точки ) пов'язаний з ексцентричною аномалією формулою
За цією формулою ексцентричну аномалію можна визначити з істинної аномалії, як показано далі.
Через істинну аномалію Істинна аномалія, позначена на рисунку, — це кут, виміряний у фокусі еліпса. (Іноді його також позначають як або .) Істинна аномалія та ексцентрична аномалія пов'язані наступним чином.
Використовуючи наведену вище формулу для , синус і косинус виражають через :
Отже,
де правильний квадрант для задається знаками чисельника та знаменника, тому найлегше знайти за допомогою функції atan2.
Отже, кут є прилеглим кутом прямокутного трикутника з гіпотенузою суміжною стороною і протилежною стороною
Також,
Підставляючи як знайдено вище у виразі для , радіальну відстань від фокальної точки до точки також можна знайти через істинну аномалію:
де
Через середню аномалію Ексцентрична аномалія пов'язана із середньою аномалією рівнянням Кеплера:
Це рівняння не має розв'язку у замкненій формі для при заданому . Зазвичай його розв'язують чисельними методами, наприклад, методом Ньютона-Рафсона. Його можна виразити у вигляді ряду Фур'є як
де — функція Бесселя першого роду.
Див. також
Вектор ексцентриситету Ексцентриситет орбіти
Примітки
Література
Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)