Тотожності Б'янкі — формули тензорного числення, які відіграють велику роль у загальній теорії відносності. Названі на честь італійського математика Луїджі Б'янкі. Мають вигляд:
(перша, або циклічна тотожність Б'янкі),
(друга, або згорнута тотожність Б'янкі),
де — тензор кривини, — тензор Річчі, — скалярна кривина, а позначає коваріантне диференціювання.
Перша тотожність Б'янкі Перша тотожність Б'янкі, також звана циклічною тотожністю Біанкі, має вигляд:
Друга тотожність Б'янкі Друга тотожність Біанкі, також звана згорнутою тотожністю Біанкі, має вигляд:
Ці тотожності названі на честь Луїджі Б'янкі, хоча їх вивів ще у 1880 році. У рівняннях поля Ейнштейна скорочена тотожність Б'янкі забезпечує узгодженість з нульовою дивергенцією тензора напруження-енергії речовини.
Доведення Почнемо з тотожності Б'янкі
Згортаємо обидві частини наведеного вище рівняння парою метричних тензорів:
Перший член згортається у скаляр Річчі, а третій член згортається у змішаний тензор Річчі,
Останні два члени однакові (відрізняються лише заміною німого індексу n на m) і можуть бути об'єднані в один член, який переносять до правої частини рівняння,
Це те ж саме, що
Помінявши місцями позначення індексів l та m, отримаємо
Примітки
Посилання