Октаміно — восьмиклітинні поліміно, тобто плоскі фігури, що складаються з восьми рівних квадратів, з'єднаних сторонами. З фігурами октаміно, як і з усіма поліміно, пов'язано багато задач цікавої математики.
Якщо не вважати різними фігури, що збігаються при поворотах та дзеркальних відбиттях, то різних («вільних») форм октаміно налічується 369 (див. малюнок). Існує 704 види «односторонніх» октаміно (якщо дзеркальні відбиття вважати різними фігурами) та 2725 видів «фіксованих» октаміно (різними вважаються також і повороти).
Класифікація фігур октаміно за властивостями симетрії 369 вільних фігур октаміно за їхніми властивостями симетрії можна поділити на 8 категорій:
316 фігур октаміно (на малюнку зображені сірим кольором) асиметричні; 23 октаміно (зображені червоним) мають вісь симетрії, паралельну лініям квадратної сітки; 5 октаміно (зображені зеленим) мають діагональну вісь симетрії; 18 октаміно (зображені синім) мають центральну (обертальну) симетрію другого порядку; 1 октаміно (зображене жовтим) мають центральну (обертальну) симетрію четвертого порядку; 4 октаміно (зображені фіолетовим) мають дві осі симетрії, паралельні лініям сітки; 1 октаміно (зображене помаранчевим) має дві діагональні осі симетрії. 1 октаміно (зображене синьо-зеленим) має чотири осі симетрії — дві паралельні лініям сітки і дві діагональні.
Октаміно — найменший порядок поліміно, в якому реалізуються всі вісім можливих типів симетрії. Наступний порядок поліміно з цією властивістю — додекаміно (дванадцятиклітинне поліміно).
Якщо дзеркальні відображення фігур вважати різними, то кількості в першій, четвертій та п'ятій категоріях подвоюються, що додає 335 октаміно, тобто загалом 704 односторонніх октаміно.
Якщо повороти також розглядати як різні фігури, то
фігури першої категорії можна орієнтувати вісьмома різними способами; фігури категорій від другої до четвертої — чотирма; фігури категорій від п'ятої до сьомої — двома; єдину фігуру з останньої категорії можна орієнтувати єдиним способом.
Це дає фіксованих октаміно.
Складання фігур з октаміно
Серед 369 вільних октаміно є 6 фігур з отворами («неоднозв'язні»). З цього випливає, що суцільне покрити будь-який прямокутник площею квадратів повним набором октаміно неможливо. Однак із них можна скласти деякі прямокутники площею 2958 квадратів із шістьма одноклітинними отворами. Оскільки число 2958 є добуток простих множників 2×3×17×29, то можна поставити питання про складання прямокутників 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 та 51×58.
Для прямокутника 51×58 існує розв'язок із симетричним розташуванням отворів, наведений на малюнку. Існує також укладання октаміно в три прямокутники 29×34, кожен із двома отворами поблизу центру. Комбінуючи їх у різний спосіб, можна отримати прямокутник 34×87 або 29×102 зі симетричним розташуванням трьох пар отворів. Розв'язки для прямокутників 6×493 та 17×174 поки не відомі.
Просторові октаміно З 369 просторових октаміно, що мають форму звичайних «плоских» октаміно, можна зібрати паралелепіпед 8 × 9 × 41. Один із розв'язків використовує всі фігури, крім прямого октаміно, для складання восьми окремих шарів 1 × 9 × 41; пряме октаміно проходить крізь центри всіх восьми шарів.
Псевдооктаміно Псевдополіміно — узагальнення поліміно, набір полів нескінченної шахівниці, які може обійти король. Існує вільних (двосторонніх), односторонніх та фіксованих псевдооктаміно.
Примітки
Література