Спіраль Феодора (також звана спіраллю квадратних коренів, піфагоровою спіраллю або равликом Піфагора) — у геометрії це спіраль, складена з прямокутних трикутників, розташованих впритул один до одного. Вона була названа на честь Феодора Кіренського.
Побудова Побудова спіралі починається з рівнобедреного прямокутного трикутника, кожен катет якого має одиничну довжину, а гіпотенуза дорівнює . Далі будується наступний прямокутний трикутник (який є єдиним ) де один катет є гіпотенузою попереднього трикутника, а інший катет має довжину 1. Довжина гіпотенузи цього другого трикутника дорівнює . Потім процес повторюється: -й трикутник у послідовності — це прямокутний трикутник зі сторонами та 1, і з гіпотенузою . Наприклад, 16-й трикутник має сторони довжиною та 1, а його гіпотенуза дорівнює .
Історія та застосування Хоча всі праці Феодора було втрачено, Платон згадав його у своєму діалозі Теетет, де описується його робота. Вважається, що Феодор за допомогою своєї спіралі довів ірраціональність усіх квадратних коренів із неквадратних цілих чисел від 3 до 17.
Платон не приписує Феодору доведення ірраціональності , оскільки це було добре відомо ще до нього. Феодор і Теетет розділили раціональні та ірраціональні числа на різні категорії.
Гіпотенуза Кожна з гіпотенуз трикутників відповідає квадратному кореню з відповідного натурального числа, де .
Платон, будучи учнем Феодора, цікавився, чому вчитель зупинився саме на числі . Загальноприйнято вважати, що причина полягає в тому, що гіпотенуза належить останньому трикутнику, який ще не перекриває початкову фігуру.
Перекриття У 1958 році Калеб Вільямс довів, що жодні дві гіпотенузи ніколи не перекриються, незалежно від того, як далеко продовжуватиметься спіраль. Також, якщо продовжити сторони одиничної довжини в прямі, вони ніколи не пройдуть через жодну з інших вершин загальної фігури.
Розширення
Феодор зупинив свою спіраль на трикутнику з гіпотенузою . Якщо продовжити спіраль до нескінченної кількості трикутників, можна виявити набагато більше цікавих властивостей.
Швидкість росту
Кут Якщо — кут -го трикутника (або сегмента спіралі), то:
Отже, приріст кута наступного трикутника становить:
Сума кутів перших трикутників називається загальним кутом для -го трикутника. Цей кут зростає пропорційно квадратному кореню з з обмеженим коригувальним членом :
де
().
Радіус Ріст радіуса спіралі на певному трикутнику становить
Архімедова спіраль Спіраль Феодора наближається до спіралі Архімеда. Подібно до того, як відстань між двома витками архімедової спіралі дорівнює математичній константі , коли кількість обертів спіралі Феодора прямує до нескінченності, відстань між двома послідовними витками швидко наближається до .
Наступна таблиця показує, як послідовні витки спіралі наближаються до числа :
№ витка:Обчислена середня відстань між виткамиТочність наближення середньої відстані до π23.159203799.44255%33.144345599.91245%43.1442899.91453%53.14239599.97447%
Як бачимо, вже після п'ятого витка відстань є наближенням до з точністю 99.97%.
Безперервна крива
Питання про те, як інтерполювати дискретні точки спіралі Феодора плавною кривою, було запропоноване та розв'язане у 2001 році за аналогією з формулою Ейлера для гамма-функції як інтерполянта для функції факторіала. Девіс знайшов функцію
яку надалі вивчали його учень та ІзерлесУ додатку до . Цю функцію можна охарактеризувати аксіоматично як єдину функцію, що задовольняє функційне рівняння
з початковою умовою та монотонністю як , так і модуля. Альтернативний висновок наведено в ..
Аналітичне продовження безперервної форми спіралі Феодора за Девісом поширюється у зворотному напрямку від початку координат.
На рисунку вузли оригінальної (дискретної) спіралі Феодора позначені маленькими зеленими колами. Сині кола — це ті, що додані у зворотному напрямку спіралі. На рисунку пронумеровані лише вузли із цілим значенням полярного радіуса . Пунктирне коло в початку координат — це коло кривини в точці .
Див. також Спіраль Ферма
Примітки
Додаткова інформація