Поро́жня множина́ в математиці — множина, яка не містить жодного елемента. Така множина позначається як ∅ або {}.
Наприклад, якщо досліджується множина об'єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і надалі з'ясовується, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означити за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: ∅ = {x|x≠x} тощо. Разом із тим, твердження множина M — непорожня можна замінити рівносильним йому твердженням існують елементи, які належать множині M.
Позначення Загальноприйнятими позначеннями порожньої множини можуть бути символи {}, , і ∅. Останні два символи були запропоновані групою Бурбакі (зокрема Андре Вейлем) в 1939, які запозичили символ Ø, що є літерою в норвезькій і данській абетках (і це не має стосунку до грецької літери Φ). У минулому для позначення порожньої множини інколи вживався також «0» (нуль), але зараз таке вживання вважається неправильним.
Символ ∅ присутній у таблиці Юнікод під кодом U+2205.Unicode Standard 5.2 Він також доступний у розмітці HTML і задається як ∅ і як ∅. У форматі LaTeX він кодується як \varnothing. Символ можна закодувати в LaTeX як \emptyset.
Властивості
У стандартній аксіоматичній теорії множин, відповідно до принципу екстенсивності, дві множини є рівними тоді, коли вони мають однаковий набір елементів, таким чином може бути лише одна множина, яка не містить жодного елемента. Тому може існувати лише одна порожня множина.
Для будь-якої множини A, порожня множина є підмножиною A: ∀A: {} ⊆ A Для будь-якої множини A, об'єднання множин A та порожньої множини є A: ∀A: A ∪ {} = A Для будь-якої множини A, перетин множин A та порожньої множини є порожня множина: ∀A: A ∩ {} = {} Для будь-якої множини A, Декартів добуток A та порожньої множини є порожня множина: ∀A: A × {} = {} Єдиною підмножиною порожньої множини є сама порожня множина : ∀A: A ⊆ {} ⇒ A = {} Потужність порожньої множини є нуль: |{}| = 0
В алгебрі множин порожня множина є нейтральним елементом відносно операції об'єднання множин ∪.
Див. також
Теорія множин Таблиця математичних символів
Примітки