У лінійній алгебрі підпростір Крилова порядку r, породжений n×n матрицею A та вектором b розмірності n, є лінійним підпростором, натягнутим на образи вектора b дією перших r степенів матриці A (починаючи з ), тобто,

Названий на честь математика Олексія Крилова, який опублікував працю, присвячену цьому поняттю, у 1931 році.

Властивості

. . Нехай . Тоді вектори є лінійно незалежними для ; для всіх виконується , а . Отже, є максимальною розмірністю підпросторів Крилова . Максимальна розмірність задовольняє нерівності та . Розглянемо , де — мінімальний многочлен матриці . Маємо . Крім того, для будь-якої матриці існує такий вектор , що ця межа досягається, тобто . є циклічним підмодулем, породженим , торсійного -модуля , де — лінійний простір над полем . Простір може бути розкладений у пряму суму підпросторів Крилова.

Застосування Підпростори Крилова використовуються в алгоритмах пошуку наближених розв’язків багатовимірних задач лінійної алгебри. Багато тестів для лінійних динамічних систем у теорії керування, зокрема пов’язаних із керованістю та спостережуваністю, зводяться до перевірки рангу підпростору Крилова. Ці тести еквівалентні знаходженню лінійної оболонки граміанів, пов’язаних із відображеннями системи, тому некеровані й неспостережувані підпростори є просто ортогональними доповненнями до підпростору Крилова.

Сучасні ітераційні методи, такі як ітерація Арнольді, застосовуються для знаходження одного (або кількох) власних значень великих розріджених матриць або для розв’язування великих систем лінійних рівнянь. Вони намагаються уникати операцій «матриця–матриця», натомість обмежуючись множенням матриці на вектори та роботою з отриманими векторами. Починаючи з вектора , обчислюють , потім множать цей вектор на , щоб знайти , і так далі. Усі алгоритми, що працюють у такий спосіб, називають методами підпросторів Крилова; нині вони належать до найуспішніших методів чисельної лінійної алгебри. Ці методи можуть застосовуватися і в ситуаціях, коли існує алгоритм множення матриці на вектор без явного задання матриці , що приводить до безматричних методів.

Примітки

Джерела