У топології топологічною мітла (також нескінченною мітлою) називаються два пов'язані топологічні простори, що є підмножинами евклідової площини, і використовуються як приклад для різних понять зв'язності, а також гомотопічних властивостей.
Один із цих просторів є замиканняям іншого і тому також називається замкненою топологічною мітлою або простором мітли., Chapter 6 exercise 3.5
Означення Топологічна мітла — підмножина евклідової площини, що складається з усіх замкнених відрізків, які з'єднують початок координат із точками , де n є усіма натуральними числами, разом із відрізком (½, 1] на осі x.
Замкнена топологічна мітла — топологічна мітла разом із інтервалом (0, ½] на осі x. Іншими словами, вона складається з усіх замкнених відрізків, що з'єднують початок координат із точками або з точкою .
Іншими словами елементами замкнутої топологічної мітли є точки для яких і або Стандартна топологічна мітла є об'єднанням точок для яких і із точками виду
Властивості
Замкнута топологічна мітла є замиканням звичайної. Як топологічна мітла, так і її замикання є зв'язними, оскільки усі точки окрім точок на осі x утворюють лінійно зв'язану і відповідно зв'язану підмножину і кожна відкрита множина на площині, що містить точку на осі x, перетинає також і похилі відрізки. Відповідно кожна компонента зв'язності, що містить відрізок на осі x містить також і усі інші точки простору. Жоден із цих просторів не є локально зв'язаним адже довільний достатньо малий окіл точки на осі x (окрім початку координат) є об'єднанням зліченної кількості відрізків, кожен з яких є окремою компонентою зв'язності. Замкнена топологічна мітла є лінійно зв'язаним і навіть стягуваним простором, проте не є локально лінійно зв'язаним. Натомість стандартна топологічна мітла є прикладом зв'язаного простору, що не є лінійно зв'язаним. Інтервал [0,1] на осі x є деформаційним ретрактом замкненої нескінченної мітли, але він не є сильним деформаційним ретрактом. Детальніше це означає, що існує неперервне відображення f із замкненої топологічної мітли X на множину [0,1]×{0}, обмеження якого є тотожним відображенням. Окрім того це відображення і тотожне відображення на топологічній мітлі X є гомотопними, тобто існує таке відображення , що а є тотожним відображенням на X. При цьому не можна вибрати такі f і гомотопію, щоб виконувалася додаткова умова для всіх і . Справді відображення для є ретрактом. Це відображення, а також тотожне відображення на X є гомотопними до сталого відображення . Гомотопії визначаються як і . Оскільки гомотопія є відношенням еквівалентності то з того, що і f і тотожне відображення є гомотопними до g випливає, що вони є гомотопними між собою і тому f є деформаційною ретракцією. Натомість припустимо, що існує також ретракція f і гомотопія між тотожним відображенням і відображенням f, яка задовольняє додаткові умови для всіх і . Розглянемо відкриту підмножину . Точка (1, 0) належить цій відкритій множині і з неперервності F і додаткової умови маємо, що є відкритою підмножиною, що містить точку для кожного З означення добутку топологічних просторів для кожного t існує відкрита підмножина що містить точку (0, 1) і відкритий відрізок (або відрізок виду [0, a) чи (b, 1]), що містить t і Оскільки відрізок [0, 1] є компактною множиною, із відрізків можна вибрати скінченну кількість, що покриває [0, 1]. Тоді перетин скінченної кількості відповідних відкритих множин теж є відкритою множиною і . За побудовою для кожної точки і кожного t також . Відповідно образ довільної точки із , що не належить осі x (і відповідно належить деякому відрізку, що сполучає початок координат із точкою ) при відображенні для різних t залишається на відповідному відрізку і для t = 1 не не може належати відрізку на осі x. Тож жодне відображення f не є сильною деформаційною ретракцією.
Див. також Зв'язаний простір Лінійно зв'язаний простір Локально зв'язаний простір Ретракт
Примітки