Гамма-функція (позначають великою літерою грецького алфавіту — Гамма, ) — один зі способів узагальнити функції факторіала до дійсних і комплексних чисел, зі зсувом її аргумента на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для , що є додатним цілим числом,
Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення найбільш популярне й уживане. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім від'ємних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функцію визначають через збіжний невластивий інтеграл:
.
Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім не додатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма-функція ― голоморфна функція. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна для від'ємної показникової функції:
Гамма-функція ― складова частина різних функцій розподілу імовірностей, тож нею користуються в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці.
Мотивування
Гамма-функцію можна розглядати як розв'язок такої задачі інтерполяції: «Необхідно знайти гладку функцію яка сполучає точки задані відношенням при додатних цілих значеннях змінної ».
Графік перших кількох значень факторіала свідчить, що така крива існує, проте потрібно знайти формулу, яка точно її описує й у якій кількість операцій не залежить від розміру x. Формулу для факторіала, x! = 1 × 2 × … × x, не можна застосувати напряму для не цілих значень x, адже вона дійсна лише коли x ― натуральне число (тобто, додатне ціле). Не існує виразу для факторіала у вигляді скінченної комбінації елементарних операцій (додавання, множення, піднесення до степеня, експонент чи логарифмів), проте його можна узагальнити за допомогою інтегралів і границь із диференціального та інтегрального числення. Таким узагальненням є гамма-функція.
Існує багато способів поширити факторіал до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція ― одним із найкорисніших розв'язків цієї задачі на практиці, бо вона аналітична (крім області значень не додатних цілих). Ще одна важлива особливість цієї функції ― це те, що вона задовольняє рекурентне співвідношення, яке визначає аналогічну властивість функції факторіала,
, ,
для , що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як .
Визначення
Основне визначення Запис ввів Адрієн-Марі Лежандр. Якщо дійсна частина комплексного числа додатна (), тоді інтеграл
є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ейлера другого роду (інтеграл Ейлера першого роду визначає бета-функцію). Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:
З'ясувавши, що , коли ,
Можемо розрахувати :
Маємо що і ,
для всіх додатних цілих чисел . Це ― приклад доведення методом математичної індукції.
Інші визначення Функція ― неперервне продовження факторіалу , визначеного лише для значень на усю площину комплексної змінної . Функцію Ейлера можна визначити однією з наведених нижче формул:
Вона задовільняє наступним співвідношенням:
Через те що то позначають як Відповідно до визначення факторіала, .
Біноміальний коефіцієнт виражають через гамма-функцію як
.
Можна також подати інтеграл через гамма-функцію
який має назву Бета-функції. Таким чином, .
Ейлерове визначення як нескінченного добутку Шукаючи наближення для для комплексного числа , виявляється, що простіше спочатку порахувати для деякого великого цілого числа , а потім використати це, щоб наблизити значення для , після чого використати рекурентну рівність у зворотному порядку разів, для того, щоб зрештою наблизити . Крім того, цей наблиз стає точним для границі, коли прямує до нескінченності.
Зокрема, для деякого цілого числа , буде так, що , і ми хочемо, щоб та сама рівність справджувалася, якщо довільне ціле замінити на довільне комплексне число . Помноживши обидві частини на , отримаємо
Ця формула із нескінченним добутком збіжна для всіх комплексних чисел крім від'ємних цілих, адже за спроби використати рекурентне відношення в зворотньому порядку до значення призведе до ділення на нуль.
Подібно і гамма-функція, визначена, за Ейлером, як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел за виключенням недодатних цілих: . При такій конструкції, гамма-функція ― єдина функція, яка одночасно задовольняє рівнянням , для всіх комплексних чисел крім недодатних цілих, і для всіх комплексних чисел .
Рівняння можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел , крім цілих, що менші або рівні нулю. Саме цю розширену версію зазвичай називають гамма-функцією.
Визначення Веєрштрасса Визначення гамма-функції, яку дав Карл Веєрштрасс, також справедливе для всіх комплексних чисел , крім недодатних цілих: , де — стала Ейлера — Маскероні.
Множина визначення
Інтеграл, яким визначають гамма-функцію ― невластивий, і збігається за . Однак, скориставшись рекурентним співвідношенням , її можна продовжити на всю комплексну площину, крім точок , де .
Гамма-функція ― неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона стійка за Адамаром, її можна виразити за третім законом Лопіталя.
Часткові значення Особливо важливі часткові значення гамма-функції в певних точках — за визначенням.
— див. також факторіал.
, де — ціле додатне число
Властивості
Загальні Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції Ейлерова
з якої випливає:
і
Оскільки
гамма-функцію можна представити як
Проінтегрувавши по частинам разів, отримаємо
що дорівнює
Це можна переписати наступним чином
Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо
Використавши розкладання у ряд Фур'є, функцію можна представити наступним чином
де і . Використавши тригонометричні тотожності, цей вираз можна спростити наступним чином:
Якщо прийняти, що і розділити рівняння на отримаємо
Тепер виконаємо заміну , щоб отримати
Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від до і звівши до степеня, отримаємо
Тоді
Звідси випливає формула відображення Ейлера:
Бета-функцію можна представити наступним чином
Якщо задати отримаємо
Виконавши заміну отримаємо
Функція є парною, оскільки
Тепер припустимо
Тоді
Звідси випливає
Оскільки
звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа:
Формула подвоєння ― особливий випадок (див., Eq. 5.5.6)
Проста, але корисна властивість, що випливає з визначення границі:
Зокрема, при , цей добуток дорівнює
Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргументу є:
яке отримують, якщо задати у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета-функції із , або виконавши заміну у визначенні інтеграла гамма-функції, із чого зрештою отримають інтеграл Гаусса. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел маємо:
де позначає подвійний факторіал від n. Коли , .
Може здаватися, що поглянувши на формулу результат можна узагальнити для інших окремих значень , де ― раціональне число. Однак ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Доведено, що є трансцендентним числом і алгебрично незалежним від для будь-якого цілого і будь-якого дробу із . У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числове наближення.
Інша корисна границя для асимптотичного наближення:
Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції. Наприклад:
Для додатного цілого числа похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут це стала Ейлера — Маскероні):
.
Для -а похідна гамма-функції дорівнює:
(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній , і використавши інтегральне правило Лейбніца.)
Використавши рівняння
де — дзета-функція Рімана, із розбиттям ,
зокрема маємо
.
Нерівності Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей: Для будь-яких двох додатних дійсних чисел і , і для будь-якого , . Крім того, ця нерівність буде точною для . Для будь-яких двох додатних дійсних чисел і при , . Для будь-якого додатного дійсного числа , . Останні два твердження, випливають із визначення, так само як і твердження, що , де це полігамма-функція порядку 1. Щоб довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що має ряд подань, для яких за додатного дійсного вона складається лише із додатних членів.
Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел and , .
Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є , яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа і будь-якого, .
Формула Стірлінга
Поведінка функції для зростаючих цілих значень змінної проста: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при , величину гамма-функції задають за допомогою формули Стірлінга
де символ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1 або асимптотично сходяться.
Наближення
Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи формулу Стірлінга або .
Гамма-функцію можна обрахувати зі сталою точністю для застосувавши до інтеграла Ейлера метод інтегрування частинами. Для будь-якого додатного числа гамма-функцію можна записати як
Коли і , абсолютне значення останнього інтегралу менше за . Якщо вибрати достатньо велике , цей вираз може бути меншим за для будь-якого бажаного значення . Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до бітів точності.
Швидкий алгоритм для розрахунку Ейлерової гамма-функції для будь-якого алгебричного аргументу (в тому числі раціонального) Е. А. КарацубаE.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp. 339—360 (1991).E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246—247 (1991).E.A. Karatsuba «Fast Algorithms and the FEE Method »..
Для аргументів, які є цілими кратними для , гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для середнього арифметико-геометричного.
Застосування для формули Стірлінга
Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих цілих дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.
.
Історія
Позначення гамма-функції ввів у обіг Адрієн-Марі Лежандр.
Див. також Полігамма-функція Бета-функція Невластивий інтеграл Інтеграл Рімана Інтегральне числення Теорема Бора — Молерупа Неповна гамма-функція Сума Гаусса
Джерела
Примітки